Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivth2 23031
 Description: The intermediate value theorem, decreasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth2.9 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴)))
Assertion
Ref Expression
ivth2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivth2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ivth.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ivth.3 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
43renegcld 10336 . . 3 (𝜑 → -𝑈 ∈ ℝ)
5 ivth.4 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
6 ivth.5 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
7 ivth.7 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
8 eqid 2610 . . . . 5 (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦)) = (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))
98negfcncf 22530 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦)) ∈ (𝐷cn→ℂ))
107, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦)) ∈ (𝐷cn→ℂ))
116sselda 3568 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐷)
12 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
1312negeqd 10154 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝑥))
14 negex 10158 . . . . . 6 -(𝐹𝑥) ∈ V
1513, 8, 14fvmpt 6191 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
1611, 15syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
17 ivth.8 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1817renegcld 10336 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1916, 18eqeltrd 2688 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑥) ∈ ℝ)
201rexrd 9968 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
212rexrd 9968 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
221, 2, 5ltled 10064 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
23 lbicc2 12159 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
256, 24sseldd 3569 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐷)
26 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
2726negeqd 10154 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐴))
28 negex 10158 . . . . . . 7 -(𝐹𝐴) ∈ V
2927, 8, 28fvmpt 6191 . . . . . 6 (𝐴𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
3025, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
31 ivth2.9 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴)))
3231simprd 478 . . . . . 6 (𝜑𝑈 < (𝐹𝐴))
3317ralrimiva 2949 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
34 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
3534eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
3635rspcv 3278 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
3724, 33, 36sylc 63 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
383, 37ltnegd 10484 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐴) ↔ -(𝐹𝐴) < -𝑈))
3932, 38mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → -(𝐹𝐴) < -𝑈)
4030, 39eqbrtrd 4605 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) < -𝑈)
4131simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵) < 𝑈)
42 ubicc2 12160 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4320, 21, 22, 42syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
44 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
4544eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
4645rspcv 3278 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
4743, 33, 46sylc 63 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
4847, 3ltnegd 10484 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈 ↔ -𝑈 < -(𝐹𝐵)))
4941, 48mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → -𝑈 < -(𝐹𝐵))
506, 43sseldd 3569 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
51 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
5251negeqd 10154 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝐵))
53 negex 10158 . . . . . . 7 -(𝐹𝐵) ∈ V
5452, 8, 53fvmpt 6191 . . . . . 6 (𝐵𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵) = -(𝐹𝐵))
5550, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵) = -(𝐹𝐵))
5649, 55breqtrrd 4611 . . . 4 (𝜑 → -𝑈 < ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵))
5740, 56jca 553 . . 3 (𝜑 → (((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐴) < -𝑈 ∧ -𝑈 < ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝐵)))
581, 2, 4, 5, 6, 10, 19, 57ivth 23030 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈)
59 ioossicc 12130 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
6059, 6syl5ss 3579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6160sselda 3568 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐𝐷)
62 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑐 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑐))
6362negeqd 10154 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑐 → -(𝐹𝑦) = -(𝐹𝑐))
64 negex 10158 . . . . . . 7 -(𝐹𝑐) ∈ V
6563, 8, 64fvmpt 6191 . . . . . 6 (𝑐𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -(𝐹𝑐))
6661, 65syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -(𝐹𝑐))
6766eqeq1d 2612 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ -(𝐹𝑐) = -𝑈))
68 cncff 22504 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
697, 68syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
7069ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝐷) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
7161, 70syldan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
723recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
7372adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℂ)
7471, 73neg11ad 10267 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(𝐹𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹𝑐) = 𝑈))
7567, 74bitrd 267 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹𝑐) = 𝑈))
7675rexbidva 3031 . 2 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐷 ↦ -(𝐹𝑦))‘𝑐) = -𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈))
7758, 76mpbid 221 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  -cneg 10146  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  –cn→ccncf 22487 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489 This theorem is referenced by:  ivthle2  23033  pilem3  24011  signsply0  29954
 Copyright terms: Public domain W3C validator