pellexlem6 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem pellexlem6 36416

Description: Lemma for pellex 36417. Doing a field division between near solutions get us to norm 1, and the modularity constraint ensures we still have an integer. Returning NN guarantees that we are not returning the trivial solution (1,0). We are not explicitly defining the Pell-field, Pell-ring, and Pell-norm explicitly because after this construction is done we will never use them. This is mostly basic algebraic number theory and could be simplified if a generic framework for that were in place. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pellex.ann	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
pellex.bnn	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
pellex.cz	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
pellex.dnn	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
pellex.irr	⊢ (𝜑 → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ)
pellex.enn	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
pellex.fnn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ)
pellex.neq	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
pellex.cn0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
pellex.no1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 𝐶)
pellex.no2	⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) = 𝐶)
pellex.xcg	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶)))
pellex.ycg	⊢ (𝜑 → (𝐵 mod (abs‘𝐶)) = (𝐹 mod (abs‘𝐶)))

**Assertion**
Ref	Expression
pellexlem6	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏,𝐴 𝐵,𝑎,𝑏 𝐶,𝑎,𝑏 𝐷,𝑎,𝑏 𝐸,𝑎,𝑏 𝐹,𝑎,𝑏 𝜑,𝑎,𝑏

**Proof of Theorem pellexlem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pellex.ann	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 10913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pellex.enn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 10913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 9939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
6		pellex.dnn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
7	6	nncnd 10913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
8		pellex.bnn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 10913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10		pellex.fnn	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 10913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcld 9939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
13	7, 12	mulcld 9939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℂ)
14	5, 13	subcld 10271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℂ)
15		pellex.cz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 11359	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
17		pellex.cn0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
18	14, 16, 17	absdivd 14042	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) = ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)))
19	5, 13	negsubd 10277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))
20	19	eqcomd 2616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = ((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))
21	20	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)))
22	1	nnred 10912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
23	3	nnred 10912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
24	22, 23	remulcld 9949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℝ)
25	6	nnred 10912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
26	8	nnred 10912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
27	10	nnred 10912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
28	26, 27	remulcld 9949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℝ)
29	25, 28	remulcld 9949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ)
30	29	renegcld 10336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ)
31	16, 17	absrpcld 14035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺)
32	3	nnzd 11357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
33		pellex.xcg	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶)))
34		modmul1 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) ∧ (𝐸 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
35	22, 23, 32, 31, 33, 34	syl221anc 1329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
36	4	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
37	11	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
38	7, 37	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
39	36, 38	npcand 10275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐸↑2))
40	4	sqvald 12867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) = (𝐸 · 𝐸))
41	39, 40	eqtr2d 2645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) = (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))))
42	41	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)))
43	23	resqcld 12897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
44	27	resqcld 12897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
45	25, 44	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
46	43, 45	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) ∈ ℝ)
47		0red 9920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
48	16	abscld 14023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
49	48	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
50	16, 17	absne0d 14034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ≠ 0)
51	49, 50	dividd 10678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) = 1)
52		1zzd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
53	51, 52	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ)
54		mod0 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → (((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
55	48, 31, 54	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
56	53, 55	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0)
57	15	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
58		absmod0 13891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → ((𝐶 mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0))
59	57, 31, 58	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘𝐶) mod (abs‘𝐶)) = 0))
60	56, 59	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod (abs‘𝐶)) = 0)
61		pellex.no2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) = 𝐶)
62	61	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = (𝐶 mod (abs‘𝐶)))
63		0mod 12563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺ → (0 mod (abs‘𝐶)) = 0)
64	31, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 mod (abs‘𝐶)) = 0)
65	60, 62, 64	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
66		modadd1 12569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ ((𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶))) → ((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = ((0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)))
67	46, 47, 45, 31, 65, 66	syl221anc 1329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = ((0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)))
68	38	addid2d 10116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (𝐹↑2)))
69	11	sqvald 12867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) = (𝐹 · 𝐹))
70	69	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹↑2)) = (𝐷 · (𝐹 · 𝐹)))
71	7, 11, 11	mul12d 10124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐹 · 𝐹)) = (𝐹 · (𝐷 · 𝐹)))
72	68, 70, 71	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐹 · (𝐷 · 𝐹)))
73	72	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((0 + (𝐷 · (𝐹↑2))) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
74	42, 67, 73	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
75	6	nnzd 11357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
76	10	nnzd 11357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
77	75, 76	zmulcld 11364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐹) ∈ ℤ)
78		pellex.ycg	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 mod (abs‘𝐶)) = (𝐹 mod (abs‘𝐶)))
79	78	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 mod (abs‘𝐶)) = (𝐵 mod (abs‘𝐶)))
80		modmul1 12585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐷 · 𝐹) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐹 mod (abs‘𝐶)) = (𝐵 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
81	27, 26, 77, 31, 79, 80	syl221anc 1329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
82	9, 7, 11	mul12d 10124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) = (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))
83	82	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
84	81, 83	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · (𝐷 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
85	35, 74, 84	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
86		modadd1 12569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ) ∧ (-(𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝐴 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶))) → (((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)))
87	24, 29, 30, 31, 85, 86	syl221anc 1329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)))
88	13	negidd 10261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0)
89	88	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) + -(𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
90	21, 87, 89	3eqtrd 2648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
91	90, 64	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0)
92	24, 29	resubcld 10337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℝ)
93		absmod0 13891	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
94	92, 31, 93	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
95	91, 94	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0)
96	14	abscld 14023	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℝ)
97		mod0 12537	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → (((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
98	96, 31, 97	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
99	95, 98	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ)
100	18, 99	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℤ)
101	92, 57, 17	redivcld 10732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℝ)
102		absz 13899	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℝ → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℤ))
103	101, 102	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℤ))
104	100, 103	mpbird 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ)
105		0lt1 10429	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
106		0re 9919	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
107		1re 9918	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
108	106, 107	ltnlei 10037	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
109	105, 108	mpbi 219	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
110	9, 4	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐸) ∈ ℂ)
111	2, 11	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ)
112	110, 111	subcld 10271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
113	112, 16, 17	divcld 10680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℂ)
114	113	abscld 14023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℝ)
115	114	resqcld 12897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
116	6	nnnn0d 11228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ₀)
117	116	nn0ge0d 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
118	114	sqge0d 12898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))
119	25, 115, 117, 118	mulge0d 10483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)))
120	25, 115	remulcld 9949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)) ∈ ℝ)
121	47, 120	suble0d 10497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) ≤ 0 ↔ 0 ≤ (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
122	119, 121	mpbird 246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) ≤ 0)
123		breq1 4586	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) → (1 ≤ 0 ↔ (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) ≤ 0))
124	122, 123	syl5ibrcom 236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) → 1 ≤ 0))
125	109, 124	mtoi 189	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
126		absresq 13890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)↑2))
127	101, 126	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)↑2))
128	14, 16, 17	sqdivd 12883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))↑2) / (𝐶↑2)))
129	14	sqvald 12867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))↑2) = (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))))
130	129	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))↑2) / (𝐶↑2)) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
131	127, 128, 130	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
132	26, 23	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐸) ∈ ℝ)
133	22, 27	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ)
134	132, 133	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℝ)
135	134, 57, 17	redivcld 10732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℝ)
136		absresq 13890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℝ → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)↑2))
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)↑2))
138	112, 16, 17	sqdivd 12883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2)))
139	137, 138	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2) = ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2)))
140	139	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)) = (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2))))
141	112	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) ∈ ℂ)
142	16	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
143		sqne0 12792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶↑2) ≠ 0 ↔ 𝐶 ≠ 0))
144	16, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) ≠ 0 ↔ 𝐶 ≠ 0))
145	17, 144	mpbird 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ≠ 0)
146	7, 141, 142, 145	divassd 10715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2)) / (𝐶↑2)) = (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) / (𝐶↑2))))
147	112	sqvald 12867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2) = (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))
148	147	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2)) = (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))))
149	148	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))↑2)) / (𝐶↑2)) = ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
150	140, 146, 149	3eqtr2d 2650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)) = ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)))
151	131, 150	oveq12d 6567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2))))
152	14, 14	mulcld 9939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
153	112, 112	mulcld 9939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
154	7, 153	mulcld 9939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
155	152, 154, 142, 145	divsubdird 10719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) / (𝐶↑2)) = (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) / (𝐶↑2)) − ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) / (𝐶↑2))))
156	5, 13, 5, 13	mulsubd 10369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))))
157	110, 111, 110, 111	mulsubd 10369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) = ((((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) − (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))
158	157	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) = (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) − (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
159	110, 110	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) ∈ ℂ)
160	111, 111	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
161	159, 160	addcld 9938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
162	110, 111	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
163	162, 162	addcld 9938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
164	7, 161, 163	subdid 10365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) − (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) = ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
165	7, 159, 160	adddid 9943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) = ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))))
166	7, 162, 162	adddid 9943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))) = ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))
167	165, 166	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)) + ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) = (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
168	158, 164, 167	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))) = (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
169	156, 168	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) = (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))))
170	169	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) / (𝐶↑2)) = ((((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) / (𝐶↑2)))
171	5, 13	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐴 · 𝐸)))
172	7, 12, 5	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐴 · 𝐸)) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸))))
173	2, 4	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) = (𝐸 · 𝐴))
174	173	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸)) = ((𝐵 · 𝐹) · (𝐸 · 𝐴)))
175	9, 11, 4, 2	mul4d 10127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐹 · 𝐴)))
176	11, 2	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐹))
177	176	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐹 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))
178	174, 175, 177	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))
179	178	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐸))) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))
180	171, 172, 179	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))
181	180, 180	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) = ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))
182	181	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))))
183	182	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) = (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))))
184	5, 5	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) ∈ ℂ)
185	13, 13	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ∈ ℂ)
186	184, 185	addcld 9938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
187	7, 159	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) ∈ ℂ)
188	7, 160	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
189	187, 188	addcld 9938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
190	7, 162	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℂ)
191	190, 190	addcld 9938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))) ∈ ℂ)
192	186, 189, 191	nnncan2d 10306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))))
193	184, 185, 187, 188	addsub4d 10318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))))
194	5	sqvald 12867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸)↑2) = ((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)))
195	110	sqvald 12867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸)↑2) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))
196	195	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2)) = (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))))
197	194, 196	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) = (((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))))
198	13	sqvald 12867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) = ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))
199	111	sqvald 12867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹)↑2) = ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))
200	199	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)) = (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))
201	198, 200	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2))) = (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))))
202	197, 201	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)))) = ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸)))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))))
203	2, 4	sqmuld 12882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐸↑2)))
204	9, 4	sqmuld 12882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐸↑2)))
205	204	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2)) = (𝐷 · ((𝐵↑2) · (𝐸↑2))))
206	9	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
207	7, 206, 36	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2)) = (𝐷 · ((𝐵↑2) · (𝐸↑2))))
208	205, 207	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2)) = ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2)))
209	203, 208	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) = (((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))))
210	7	sqvald 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) = (𝐷 · 𝐷))
211	9, 11	sqmuld 12882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐹)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐹↑2)))
212	210, 211	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝐵 · 𝐹)↑2)) = ((𝐷 · 𝐷) · ((𝐵↑2) · (𝐹↑2))))
213	7, 12	sqmuld 12882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) = ((𝐷↑2) · ((𝐵 · 𝐹)↑2)))
214	7, 7	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐷) ∈ ℂ)
215	214, 206, 37	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) = ((𝐷 · 𝐷) · ((𝐵↑2) · (𝐹↑2))))
216	212, 213, 215	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) = (((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)))
217	2, 11	sqmuld 12882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐹↑2)))
218	217	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)) = (𝐷 · ((𝐴↑2) · (𝐹↑2))))
219	2	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
220	7, 219, 37	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)) = (𝐷 · ((𝐴↑2) · (𝐹↑2))))
221	218, 220	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)) = ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)))
222	216, 221	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2))) = ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2))))
223	209, 222	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))) + ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)))))
224	7, 206	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
225	219, 224, 36	subdird 10366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))))
226		pellex.no1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 𝐶)
227	226	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) · (𝐸↑2)) = (𝐶 · (𝐸↑2)))
228	225, 227	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))) = (𝐶 · (𝐸↑2)))
229	7, 7, 206	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) = (𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))))
230	229	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))))
231	230	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)) = (((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)))
232	214, 206	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
233	7, 219	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
234	232, 233, 37	subdird 10366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)) = ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2))))
235		subdi 10342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))) = ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))))
236	235	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))))
237	7, 224, 219, 236	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))))
238		negsubdi2 10219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)))
239	238	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
240	219, 224, 239	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
241	226	negeqd 10154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → -((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = -𝐶)
242	240, 241	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2)) = -𝐶)
243	242	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · ((𝐷 · (𝐵↑2)) − (𝐴↑2))) = (𝐷 · -𝐶))
244	7, 16	mulneg2d 10363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · -𝐶) = -(𝐷 · 𝐶))
245	237, 243, 244	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) = -(𝐷 · 𝐶))
246	245	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · (𝐷 · (𝐵↑2))) − (𝐷 · (𝐴↑2))) · (𝐹↑2)) = (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)))
247	231, 234, 246	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2))) = (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)))
248	228, 247	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · (𝐸↑2)) − ((𝐷 · (𝐵↑2)) · (𝐸↑2))) + ((((𝐷 · 𝐷) · (𝐵↑2)) · (𝐹↑2)) − ((𝐷 · (𝐴↑2)) · (𝐹↑2)))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) + (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2))))
249	7, 16	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
250	249, 37	mulneg1d 10362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = -((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)))
251	7, 16	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐷))
252	251	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = ((𝐶 · 𝐷) · (𝐹↑2)))
253	16, 7, 37	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐷) · (𝐹↑2)) = (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
254	252, 253	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
255	254	negeqd 10154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -((𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
256	250, 255	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2)) = -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))))
257	256	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) + (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) + -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
258	16, 36	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐸↑2)) ∈ ℂ)
259	16, 38	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2))) ∈ ℂ)
260	258, 259	negsubd 10277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) + -(𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
261	61	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶 · 𝐶))
262		subdi 10342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ) → (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
263	262	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ) → ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))))
264	16, 36, 38, 263	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶 · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))))
265	16	sqvald 12867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐶 · 𝐶))
266	261, 264, 265	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) − (𝐶 · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = (𝐶↑2))
267	257, 260, 266	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐸↑2)) + (-(𝐷 · 𝐶) · (𝐹↑2))) = (𝐶↑2))
268	223, 248, 267	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸)↑2) − (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸)↑2))) + (((𝐷 · (𝐵 · 𝐹))↑2) − (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹)↑2)))) = (𝐶↑2))
269	193, 202, 268	3eqtr2d 2650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹))))) = (𝐶↑2))
270	183, 192, 269	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) = (𝐶↑2))
271	270	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((((𝐴 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐸)) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐹)) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) + ((𝐴 · 𝐸) · (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))))) − (((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐵 · 𝐸))) + (𝐷 · ((𝐴 · 𝐹) · (𝐴 · 𝐹)))) − ((𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹))) + (𝐷 · ((𝐵 · 𝐸) · (𝐴 · 𝐹)))))) / (𝐶↑2)) = ((𝐶↑2) / (𝐶↑2)))
272	142, 145	dividd 10678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) / (𝐶↑2)) = 1)
273	170, 271, 272	3eqtrd 2648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) · ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹)))) − (𝐷 · (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) · ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))))) / (𝐶↑2)) = 1)
274	151, 155, 273	3eqtr2d 2650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1)
275	274	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1)
276		simpr 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0)
277	276	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) = (0 / 𝐶))
278	277	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) = (abs‘(0 / 𝐶)))
279	16, 17	div0d 10679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝐶) = 0)
280	279	abs00bd 13879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(0 / 𝐶)) = 0)
281	280	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (abs‘(0 / 𝐶)) = 0)
282	278, 281	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) = 0)
283	282	sq0id 12819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) = 0)
284	283	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
285	275, 284	eqtr3d 2646	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0) → 1 = (0 − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
286	125, 285	mtand 689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) = 0)
287	286	neqned 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) ≠ 0)
288	14, 16, 287, 17	divne0d 10696	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ≠ 0)
289		nnabscl 13913	. . 3 ⊢ (((((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶) ≠ 0) → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℕ)
290	104, 288, 289	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℕ)
291	112, 16, 17	absdivd 14042	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) = ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)))
292		negsub 10208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) = ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)))
293	292	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) = ((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)))
294	110, 111, 293	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) = ((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)))
295	294	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
296	133	renegcld 10336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ)
297	11, 4	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐸) = (𝐸 · 𝐹))
298	297	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
299		modmul1 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) ∧ (𝐸 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐵 mod (abs‘𝐶)) = (𝐹 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
300	26, 27, 32, 31, 78, 299	syl221anc 1329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐹 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)))
301		modmul1 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ (𝐴 mod (abs‘𝐶)) = (𝐸 mod (abs‘𝐶))) → ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
302	22, 23, 76, 31, 33, 301	syl221anc 1329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐸 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
303	298, 300, 302	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶)))
304		modadd1 12569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (-(𝐴 · 𝐹) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝐵 · 𝐸) mod (abs‘𝐶)) = ((𝐴 · 𝐹) mod (abs‘𝐶))) → (((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
305	132, 133, 296, 31, 303, 304	syl221anc 1329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)))
306	111	negidd 10261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) = 0)
307	306	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐹) + -(𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
308	295, 305, 307	3eqtrd 2648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = (0 mod (abs‘𝐶)))
309	308, 64	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = 0)
310		absmod0 13891	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
311	134, 31, 310	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0))
312	309, 311	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0)
313	112	abscld 14023	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℝ)
314		mod0 12537	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) ∈ ℝ⁺) → (((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
315	313, 31, 314	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) mod (abs‘𝐶)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ))
316	312, 315	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹))) / (abs‘𝐶)) ∈ ℤ)
317	291, 316	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℤ)
318		absz 13899	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℝ → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℤ))
319	135, 318	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ ↔ (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℤ))
320	317, 319	mpbird 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ)
321		pellex.neq	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
322	10	nnne0d 10942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0)
323	3	nnne0d 10942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ 0)
324	9, 11, 2, 4, 322, 323	divmuleqd 10726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) ↔ (𝐵 · 𝐸) = (𝐴 · 𝐹)))
325	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))) = 𝐶)
326	325	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 = ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2))))
327	326	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) = (((𝐵 / 𝐹)↑2) · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))))
328	9, 11, 322	divcld 10680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐹) ∈ ℂ)
329	328	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹)↑2) ∈ ℂ)
330	329	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) ∈ ℂ)
331	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
332	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐷 · (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
333	330, 331, 332	subdid 10365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · ((𝐸↑2) − (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) − (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2)))))
334		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) = ((𝐴 / 𝐸)↑2))
335	334	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) = (((𝐴 / 𝐸)↑2) · (𝐸↑2)))
336	335	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) = (((𝐴 / 𝐸)↑2) · (𝐸↑2)))
337	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐴 ∈ ℂ)
338	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐸 ∈ ℂ)
339	323	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐸 ≠ 0)
340	337, 338, 339	sqdivd 12883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐴 / 𝐸)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐸↑2)))
341	340	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐴 / 𝐸)↑2) · (𝐸↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐸↑2)) · (𝐸↑2)))
342	219	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
343		sqne0 12792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐸 ∈ ℂ → ((𝐸↑2) ≠ 0 ↔ 𝐸 ≠ 0))
344	4, 343	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) ≠ 0 ↔ 𝐸 ≠ 0))
345	323, 344	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ≠ 0)
346	345	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐸↑2) ≠ 0)
347	342, 331, 346	divcan1d 10681	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐴↑2) / (𝐸↑2)) · (𝐸↑2)) = (𝐴↑2))
348	336, 341, 347	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) = (𝐴↑2))
349	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐷 ∈ ℂ)
350	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
351	330, 349, 350	mul12d 10124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐹↑2))))
352	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐵 ∈ ℂ)
353	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐹 ∈ ℂ)
354	322	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐹 ≠ 0)
355	352, 353, 354	sqdivd 12883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) = ((𝐵↑2) / (𝐹↑2)))
356	355	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐹↑2)) = (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2)))
357	356	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐷 · (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2))))
358	206	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
359		sqne0 12792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ ℂ → ((𝐹↑2) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ 0))
360	11, 359	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐹↑2) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ 0))
361	322, 360	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ≠ 0)
362	361	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐹↑2) ≠ 0)
363	358, 350, 362	divcan1d 10681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2)) = (𝐵↑2))
364	363	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐷 · (((𝐵↑2) / (𝐹↑2)) · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (𝐵↑2)))
365	351, 357, 364	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2))) = (𝐷 · (𝐵↑2)))
366	348, 365	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐸↑2)) − (((𝐵 / 𝐹)↑2) · (𝐷 · (𝐹↑2)))) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
367	327, 333, 366	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
368	226	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
369	368	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
370	367, 369	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) / 𝐶) = (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))))
371	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 ∈ ℂ)
372	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → 𝐶 ≠ 0)
373	330, 371, 372	divcan4d 10686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((((𝐵 / 𝐹)↑2) · 𝐶) / 𝐶) = ((𝐵 / 𝐹)↑2))
374	226, 226	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = (𝐶 / 𝐶))
375	16, 17	dividd 10678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐶) = 1)
376	374, 375	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = 1)
377	376	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) / ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2)))) = 1)
378	370, 373, 377	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1)
379	26, 27, 322	redivcld 10732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐹) ∈ ℝ)
380	8	nnnn0d 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ₀)
381	380	nn0ge0d 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
382	10	nngt0d 10941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐹)
383		divge0 10771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐹)) → 0 ≤ (𝐵 / 𝐹))
384	26, 381, 27, 382, 383	syl22anc 1319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 / 𝐹))
385	379, 384	sqrtsqd 14006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)) = (𝐵 / 𝐹))
386	385	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐹) = (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)))
387	386	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)))
388		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1 → (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)) = (√‘1))
389	388	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (√‘((𝐵 / 𝐹)↑2)) = (√‘1))
390		sqrt1 13860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (√‘1) = 1
391	390	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (√‘1) = 1)
392	387, 389, 391	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ ((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = 1)
393	392	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1 → (𝐵 / 𝐹) = 1))
394		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸))
395		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐵 / 𝐹) = 1)
396	394, 395	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐴 / 𝐸) = 1)
397	396	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐴 / 𝐸) · 𝐸) = (1 · 𝐸))
398	2, 4, 323	divcan1d 10681	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐸) · 𝐸) = 𝐴)
399	398	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐴 / 𝐸) · 𝐸) = 𝐴)
400	4	mulid2d 9937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) = 𝐸)
401	400	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (1 · 𝐸) = 𝐸)
402	397, 399, 401	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → 𝐴 = 𝐸)
403	395	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐵 / 𝐹) · 𝐹) = (1 · 𝐹))
404	9, 11, 322	divcan1d 10681	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹) · 𝐹) = 𝐵)
405	404	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → ((𝐵 / 𝐹) · 𝐹) = 𝐵)
406	11	mulid2d 9937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐹) = 𝐹)
407	406	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (1 · 𝐹) = 𝐹)
408	403, 405, 407	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → 𝐵 = 𝐹)
409	402, 408	jca 553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) ∧ (𝐵 / 𝐹) = 1) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
410	409	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → ((𝐵 / 𝐹) = 1 → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
411	393, 410	syld 46	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (((𝐵 / 𝐹)↑2) = 1 → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
412	378, 411	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸)) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹))
413	412	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐹) = (𝐴 / 𝐸) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
414	324, 413	sylbird 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) = (𝐴 · 𝐹) → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐹)))
415	321, 414	mtod 188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐵 · 𝐸) = (𝐴 · 𝐹))
416	415	neqned 2789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐸) ≠ (𝐴 · 𝐹))
417	110, 111, 416	subne0d 10280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) ≠ 0)
418	112, 16, 417, 17	divne0d 10696	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ≠ 0)
419		nnabscl 13913	. . 3 ⊢ (((((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ∈ ℤ ∧ (((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶) ≠ 0) → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℕ)
420	320, 418, 419	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℕ)
421		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) → (𝑎↑2) = ((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2))
422	421	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
423	422	eqeq1d 2612	. . 3 ⊢ (𝑎 = (abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
424		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → (𝑏↑2) = ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))
425	424	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2)))
426	425	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))))
427	426	eqeq1d 2612	. . 3 ⊢ (𝑏 = (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) → ((((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1))
428	423, 427	rspc2ev 3295	. 2 ⊢ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶)) ∈ ℕ ∧ (abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶)) ∈ ℕ ∧ (((abs‘(((𝐴 · 𝐸) − (𝐷 · (𝐵 · 𝐹))) / 𝐶))↑2) − (𝐷 · ((abs‘(((𝐵 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐹)) / 𝐶))↑2))) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
429	290, 420, 274, 428	syl3anc 1318	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℕ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∃wrex 2897 class class class wbr 4583 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 -cneg 10146 / cdiv 10563 ℕcn 10897 2c2 10947 ℤcz 11254 ℚcq 11664 ℝ⁺crp 11708 mod cmo 12530 ↑cexp 12722 √csqrt 13821 abscabs 13822

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-sup 8231 df-inf 8232 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-fl 12455 df-mod 12531 df-seq 12664 df-exp 12723 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824

This theorem is referenced by: pellex 36417

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