stirlinglem10 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem10 38976

Description: A bound for any B(N)-B(N + 1) that will allow to find a lower bound for the whole 𝐵 sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem10.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem10.2	⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
stirlinglem10.4	⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
stirlinglem10.5	⊢ 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem10	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑛 𝑛,𝐾 𝑛,𝐿 𝑘,𝑁,𝑛 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑘,𝑛) 𝐵(𝑘,𝑛) 𝐾(𝑘) 𝐿(𝑘)

Proof of Theorem stirlinglem10 Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11599	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
2		1zzd 11285	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3		stirlinglem10.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4		stirlinglem10.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(𝐴‘𝑛)))
5		eqid 2610	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((1 + (2 · 𝑛)) / 2) · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − 1))
6		stirlinglem10.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))))
7	3, 4, 5, 6	stirlinglem9 38975	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐾) ⇝ ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))))
8		2cnd 10970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
9		nncn 10905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 9939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11		1cnd 9935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
12	10, 11	addcld 9938	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
13	12	sqcld 12868	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
14		0red 9920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
15		1red 9934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
16		2re 10967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
18		nnre 10904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
19	17, 18	remulcld 9949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
20	19, 15	readdcld 9948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
21		0lt1 10429	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
23		2rp 11713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
25		nnrp 11718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
26	24, 25	rpmulcld 11764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
27	15, 26	ltaddrp2d 11782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑁) + 1))
28	14, 15, 20, 22, 27	lttrd 10077	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑁) + 1))
29	28	gt0ne0d 10471	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
30		2z 11286	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
32	12, 29, 31	expne0d 12876	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
33	13, 32	reccld 10673	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
34	15	renegcld 10336	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℝ)
35	20	resqcld 12897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ)
36	35, 32	rereccld 10731	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
37		1re 9918	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		lt0neg2 10414	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 < 1 ↔ -1 < 0))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 1 ↔ -1 < 0)
40	22, 39	sylib 207	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < 0)
41	20, 29	sqgt0d 12899	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
42	35, 41	recgt0d 10837	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
43	34, 14, 36, 40, 42	lttrd 10077	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
44		2nn 11062	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
46		expgt1 12760	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) + 1)) → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
47	20, 45, 27, 46	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
48	35, 41	elrpd 11745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ⁺)
49	48	recgt1d 11762	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 < (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ↔ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1))
50	47, 49	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)
51	36, 15	absltd 14016	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1 ↔ (-1 < (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∧ (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) < 1)))
52	43, 50, 51	mpbir2and 959	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) < 1)
53		1nn0 11185	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
54	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ₀)
55		stirlinglem10.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘))
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘)))
57		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → 𝑘 = 𝑗)
58	57	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
59		elnnuz 11600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
60	59	biimpri 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
61	60	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
62	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
63	61	nnnn0d 11228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
64	62, 63	expcld 12870	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗) ∈ ℂ)
65	56, 58, 61, 64	fvmptd 6197	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝐿‘𝑗) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑗))
66	33, 52, 54, 65	geolim2 14441	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))))
67	33	exp1d 12865	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) = (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
68	13, 32	dividd 10678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = 1)
69	68	eqcomd 2616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
70	69	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
71	48	rpcnne0d 11757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0))
72		divsubdir 10600	. . . . . . 7 ⊢ (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)) → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
73	13, 11, 71, 72	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
74		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
75		binom2 12841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
76	10, 74, 75	sylancl 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)))
77	76	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1))
78	8, 9	sqmuld 12882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
79		sq2 12822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2↑2) = 4
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑2) = 4)
81	80	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑2) · (𝑁↑2)) = (4 · (𝑁↑2)))
82	78, 81	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)↑2) = (4 · (𝑁↑2)))
83	10	mulid1d 9936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) · 1) = (2 · 𝑁))
84	83	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (2 · (2 · 𝑁)))
85	8, 8, 9	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
86		2t2e4 11054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 2) = 4
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 2) = 4)
88	87	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁))
89	84, 85, 88	3eqtr2d 2650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((2 · 𝑁) · 1)) = (4 · 𝑁))
90	82, 89	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
91		4cn 10975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
93	9	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
94	92, 93, 9	adddid 9943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
95	9	sqvald 12867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
96	9	mulid1d 9936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
97	96	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (𝑁 · 1))
98	95, 97	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
99	9, 9, 11	adddid 9943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
100	98, 99	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
101	100	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
102	90, 94, 101	3eqtr2d 2650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
103		sq1 12820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1↑2) = 1)
105	102, 104	oveq12d 6567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1))
106	105	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · ((2 · 𝑁) · 1))) + (1↑2)) − 1) = (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1))
107	9, 11	addcld 9938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
108	9, 107	mulcld 9939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
109	92, 108	mulcld 9939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
110	109, 11	pncand 10272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) + 1) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
111	77, 106, 110	3eqtrd 2648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) = (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))
112	111	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) − 1) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
113	70, 73, 112	3eqtr2d 2650	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))
114	67, 113	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))))
115		4pos 10993	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
116	115	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 4)
117	116	gt0ne0d 10471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
118		nnne0 10930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
119	18, 15	readdcld 9948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
120		nngt0 10926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
121	18	ltp1d 10833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
122	14, 18, 119, 120, 121	lttrd 10077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
123	122	gt0ne0d 10471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
124	9, 107, 118, 123	mulne0d 10558	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
125	92, 108, 117, 124	mulne0d 10558	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) ≠ 0)
126	11, 13, 109, 13, 32, 32, 125	divdivdivd 10727	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
127	11, 13	mulcomd 9940	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1))
128	127	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 · (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
129	11	mulid1d 9936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 1) = 1)
130	129	eqcomd 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (1 · 1))
131	130	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
132	11, 92, 11, 108, 117, 124	divmuldivd 10721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 · 1) / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
133	131, 132	eqtr4d 2647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
134	68, 133	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
135	13, 13, 11, 109, 32, 125	divmuldivd 10721	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) · (1 / (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))))
136	92, 117	reccld 10673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℂ)
137	108, 124	reccld 10673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
138	136, 137	mulcld 9939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))) ∈ ℂ)
139	138	mulid2d 9937	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
140	134, 135, 139	3eqtr3d 2652	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · 1) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2) · (4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
141	126, 128, 140	3eqtrd 2648	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) / ((4 · (𝑁 · (𝑁 + 1))) / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
142	114, 141	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑1) / (1 − (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)))) = ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
143	66, 142	breqtrd 4609	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq1( + , 𝐿) ⇝ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))
144	59	biimpi 205	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
145	144	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ_≥‘1))
146	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝐾 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)))))
147		oveq2 6557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
148	147	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
149	148	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
150	147	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘)) = ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)))
151	149, 150	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
152	151	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ((1 / ((2 · 𝑘) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑘))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
153		elfznn 12241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
154	153	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
155		2cnd 10970	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℂ)
156	154	nncnd 10913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℂ)
157	155, 156	mulcld 9939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
158		1cnd 9935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℂ)
159	157, 158	addcld 9938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
160		0red 9920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
161		1red 9934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
162	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
163		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
164	162, 163	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
165	164, 161	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
166	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
167	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
168		nnrp 11718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
169	167, 168	rpmulcld 11764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ⁺)
170	161, 169	ltaddrp2d 11782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 < ((2 · 𝑛) + 1))
171	160, 161, 165, 166, 170	lttrd 10077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
172	153, 171	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
173	172	gt0ne0d 10471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
174	173	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
175	159, 174	reccld 10673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
176	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℂ)
177	155, 176	mulcld 9939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
178	177, 158	addcld 9938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
179	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
180	178, 179	reccld 10673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
181		2nn0 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
182	181	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℕ₀)
183	154	nnnn0d 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
184	182, 183	nn0mulcld 11233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
185	180, 184	expcld 12870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
186	175, 185	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
187	146, 152, 154, 186	fvmptd 6197	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
188	187	adantlr 747	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))))
189	171	gt0ne0d 10471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
190	165, 189	rereccld 10731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
191	153, 190	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
192	191	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
193	20, 29	rereccld 10731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
194	193	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
195	194, 184	reexpcld 12887	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
196	195	adantlr 747	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) ∈ ℝ)
197	192, 196	remulcld 9949	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ∈ ℝ)
198	188, 197	eqeltrd 2688	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) ∈ ℝ)
199		readdcl 9898	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
200	199	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑛 + 𝑖) ∈ ℝ)
201	145, 198, 200	seqcl 12683	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ∈ ℝ)
202	55	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝐿 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘)))
203		oveq2 6557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
204	203	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑘) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
205	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
206	205, 183	expcld 12870	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℂ)
207	202, 204, 154, 206	fvmptd 6197	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿‘𝑛) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
208	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
209	208, 183	reexpcld 12887	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ)
210	207, 209	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿‘𝑛) ∈ ℝ)
211	210	adantlr 747	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐿‘𝑛) ∈ ℝ)
212	145, 211, 200	seqcl 12683	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐿)‘𝑗) ∈ ℝ)
213	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 2 ∈ ℤ)
214		elfzelz 12213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℤ)
215	213, 214	zmulcld 11364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
216		1exp 12751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℤ → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
217	215, 216	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = 1)
218		1exp 12751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
219	214, 218	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑𝑛) = 1)
220	217, 219	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
221	220	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1↑(2 · 𝑛)) = (1↑𝑛))
222	178, 183, 182	expmuld 12873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛)) = ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛))
223	221, 222	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
224	158, 178, 179, 184	expdivd 12884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1↑(2 · 𝑛)) / (((2 · 𝑁) + 1)↑(2 · 𝑛))))
225	178	sqcld 12868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℂ)
226	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
227	178, 179, 226	expne0d 12876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ≠ 0)
228	158, 225, 227, 183	expdivd 12884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) = ((1↑𝑛) / ((((2 · 𝑁) + 1)↑2)↑𝑛)))
229	223, 224, 228	3eqtr4d 2654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
230	229	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) = ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
231		1rp 11712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
232	231	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ⁺)
233	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 2 ∈ ℝ)
234	154	nnred 10912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℝ)
235	233, 234	remulcld 9949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
236	182	nn0ge0d 11231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 2)
237	183	nn0ge0d 11231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑛)
238	233, 234, 236, 237	mulge0d 10483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
239	235, 238	ge0p1rpd 11778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ⁺)
240		1red 9934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
241	232	rpge0d 11752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 1)
242	161, 165, 170	ltled 10064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
243	153, 242	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
244	243	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 1 ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
245	232, 239, 240, 241, 244	lediv2ad 11770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ (1 / 1))
246	158	div1d 10672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / 1) = 1)
247	245, 246	breqtrd 4609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1)
248	154, 190	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
249	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑁 ∈ ℝ)
250	233, 249	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
251	14, 18, 120	ltled 10064	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
252	251	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ 𝑁)
253	233, 249, 236, 252	mulge0d 10483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 0 ≤ (2 · 𝑁))
254	250, 253	ge0p1rpd 11778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ⁺)
255	254, 226	rpexpcld 12894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) ∈ ℝ⁺)
256	255	rpreccld 11758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2)) ∈ ℝ⁺)
257	214	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℤ)
258	256, 257	rpexpcld 12894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛) ∈ ℝ⁺)
259	248, 240, 258	lemul1d 11791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ≤ 1 ↔ ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))))
260	247, 259	mpbid 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)))
261	206	mulid2d 9937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (1 · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) = ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
262	260, 261	breqtrd 4609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛)) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
263	230, 262	eqbrtrd 4605	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → ((1 / ((2 · 𝑛) + 1)) · ((1 / ((2 · 𝑁) + 1))↑(2 · 𝑛))) ≤ ((1 / (((2 · 𝑁) + 1)↑2))↑𝑛))
264	263, 187, 207	3brtr4d 4615	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) ≤ (𝐿‘𝑛))
265	264	adantlr 747	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐾‘𝑛) ≤ (𝐿‘𝑛))
266	145, 198, 211, 265	serle 12718	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐾)‘𝑗) ≤ (seq1( + , 𝐿)‘𝑗))
267	1, 2, 7, 143, 201, 212, 266	climle 14218	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵‘𝑁) − (𝐵‘(𝑁 + 1))) ≤ ((1 / 4) · (1 / (𝑁 · (𝑁 + 1)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 -cneg 10146 / cdiv 10563 ℕcn 10897 2c2 10947 4c4 10949 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ℤ_≥cuz 11563 ℝ⁺crp 11708 ...cfz 12197 seqcseq 12663 ↑cexp 12722 !cfa 12922 √csqrt 13821 abscabs 13822 ⇝ cli 14063 eceu 14632 logclog 24105

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-inf2 8421 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893 ax-addf 9894 ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-fal 1481 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-iin 4458 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-se 4998 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-isom 5813 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-of 6795 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-supp 7183 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-ixp 7795 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-fsupp 8159 df-fi 8200 df-sup 8231 df-inf 8232 df-oi 8298 df-card 8648 df-cda 8873 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-5 10959 df-6 10960 df-7 10961 df-8 10962 df-9 10963 df-n0 11170 df-xnn0 11241 df-z 11255 df-dec 11370 df-uz 11564 df-q 11665 df-rp 11709 df-xneg 11822 df-xadd 11823 df-xmul 11824 df-ioo 12050 df-ioc 12051 df-ico 12052 df-icc 12053 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-fl 12455 df-mod 12531 df-seq 12664 df-exp 12723 df-fac 12923 df-bc 12952 df-hash 12980 df-shft 13655 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-limsup 14050 df-clim 14067 df-rlim 14068 df-sum 14265 df-ef 14637 df-e 14638 df-sin 14639 df-cos 14640 df-tan 14641 df-pi 14642 df-dvds 14822 df-struct 15697 df-ndx 15698 df-slot 15699 df-base 15700 df-sets 15701 df-ress 15702 df-plusg 15781 df-mulr 15782 df-starv 15783 df-sca 15784 df-vsca 15785 df-ip 15786 df-tset 15787 df-ple 15788 df-ds 15791 df-unif 15792 df-hom 15793 df-cco 15794 df-rest 15906 df-topn 15907 df-0g 15925 df-gsum 15926 df-topgen 15927 df-pt 15928 df-prds 15931 df-xrs 15985 df-qtop 15990 df-imas 15991 df-xps 15993 df-mre 16069 df-mrc 16070 df-acs 16072 df-mgm 17065 df-sgrp 17107 df-mnd 17118 df-submnd 17159 df-mulg 17364 df-cntz 17573 df-cmn 18018 df-psmet 19559 df-xmet 19560 df-met 19561 df-bl 19562 df-mopn 19563 df-fbas 19564 df-fg 19565 df-cnfld 19568 df-top 20521 df-bases 20522 df-topon 20523 df-topsp 20524 df-cld 20633 df-ntr 20634 df-cls 20635 df-nei 20712 df-lp 20750 df-perf 20751 df-cn 20841 df-cnp 20842 df-haus 20929 df-cmp 21000 df-tx 21175 df-hmeo 21368 df-fil 21460 df-fm 21552 df-flim 21553 df-flf 21554 df-xms 21935 df-ms 21936 df-tms 21937 df-cncf 22489 df-limc 23436 df-dv 23437 df-ulm 23935 df-log 24107 df-cxp 24108

This theorem is referenced by: stirlinglem12 38978

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