Theorem 1exp 12751

Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1exp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 9914	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2	1	snid 4155	. . 3 ⊢ 1 ∈ {1}
3		ax-1ne0 9884	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
4		ax-1cn 9873	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		snssi 4280	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ ℂ
7		elsni 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8		elsni 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9		oveq12 6558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10		1t1e1 11052	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
11	9, 10	syl6eq 2660	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
12	7, 8, 11	syl2an 493	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13		ovex 6577	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 · 𝑦) ∈ V
14	13	elsn 4140	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1)
15	12, 14	sylibr 223	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
16	7	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
17		1div1e1 10596	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
18	16, 17	syl6eq 2660	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
19		ovex 6577	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 𝑥) ∈ V
20	19	elsn 4140	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1)
21	18, 20	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
23	6, 15, 2, 22	expcl2lem 12734	. . 3 ⊢ ((1 ∈ {1} ∧ 1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
24	2, 3, 23	mp3an12 1406	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
25		elsni 4142	. 2 ⊢ ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
26	24, 25	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  {csn 4125  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563  ℤcz 11254  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  exprec  12763  sq1  12820  iexpcyc  12831  faclbnd4lem1  12942  iseraltlem2  14261  iseraltlem3  14262  binom1p  14402  binom11  14403  pwm1geoser  14439  esum  14650  ege2le3  14659  eirrlem  14771  odzdvds  15338  iblabsr  23402  iblmulc2  23403  abelthlem1  23989  abelthlem3  23991  abelthlem8  23997  abelthlem9  23998  ef2kpi  24034  root1cj  24297  cxpeq  24298  quart  24388  leibpi  24469  log2cnv  24471  mule1  24674  lgseisenlem1  24900  lgseisenlem4  24903  lgseisen  24904  lgsquadlem1  24905  lgsquad2lem1  24909  m1lgs  24913  dchrisum0flblem1  24997  subfaclim  30424  iblmulc2nc  32645  expdioph  36608  lhe4.4ex1a  37550  fprodexp  38661  stoweidlem7  38900  stirlinglem5  38971  stirlinglem7  38973  stirlinglem10  38976  pwm1geoserALT  40040  2pwp1prm  40041  m1expevenALTV  40098  altgsumbc  41923