Theorem zmulcld 11364

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmulcl 11303	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549   · cmul 9820  ℤcz 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  12492  flhalf  12493  quoremz  12516  intfracq  12520  zmodcl  12552  modmul1  12585  sqoddm1div8  12890  eirrlem  14771  modmulconst  14851  dvds2ln  14852  dvdsmod  14888  3dvds  14890  3dvdsOLD  14891  even2n  14904  mod2eq1n2dvds  14909  2tp1odd  14914  ltoddhalfle  14923  m1expo  14930  m1exp1  14931  modremain  14970  flodddiv4  14975  bits0e  14989  bits0o  14990  bitsp1e  14992  bitsp1o  14993  bitsmod  14996  bitscmp  14998  bitsinv1lem  15001  bitsuz  15034  bitsshft  15035  smumullem  15052  smumul  15053  bezoutlem3  15096  bezoutlem4  15097  mulgcd  15103  dvdsmulgcd  15112  bezoutr  15119  lcmgcdlem  15157  mulgcddvds  15207  rpmulgcd2  15208  coprmprod  15213  divgcdcoprm0  15217  cncongr1  15219  cncongr2  15220  exprmfct  15254  hashdvds  15318  eulerthlem1  15324  eulerthlem2  15325  prmdiv  15328  prmdiveq  15329  pcpremul  15386  pcqmul  15396  pcaddlem  15430  prmpwdvds  15446  4sqlem5  15484  4sqlem10  15489  4sqlem14  15500  mulgass  17402  mulgmodid  17404  odmod  17788  odmulgid  17794  odbezout  17798  gexdvds  17822  odadd1  18074  odadd2  18075  torsubg  18080  ablfacrp  18288  pgpfac1lem2  18297  pgpfac1lem3a  18298  pgpfac1lem3  18299  znunit  19731  znrrg  19733  dyaddisjlem  23169  elqaalem3  23880  aalioulem1  23891  aaliou3lem2  23902  aaliou3lem8  23904  dvdsmulf1o  24720  lgsdirprm  24856  lgsdir  24857  lgsdilem2  24858  lgsdi  24859  gausslemma2dlem1a  24890  gausslemma2dlem5a  24895  gausslemma2dlem5  24896  gausslemma2dlem6  24897  gausslemma2dlem7  24898  gausslemma2d  24899  lgseisenlem1  24900  lgseisenlem2  24901  lgseisenlem3  24902  lgseisenlem4  24903  lgsquadlem1  24905  lgsquad2lem1  24909  lgsquad3  24912  2lgslem1a1  24914  2lgslem1a2  24915  2lgslem1b  24917  2lgslem3b1  24926  2lgslem3c1  24927  2lgsoddprmlem2  24934  2sqlem3  24945  2sqlem4  24946  2sqblem  24956  ex-ind-dvds  26710  2sqmod  28979  qqhghm  29360  qqhrhm  29361  dvdspw  30889  knoppndvlem2  31674  pellexlem5  36415  pellexlem6  36416  pell1234qrmulcl  36437  congmul  36552  jm2.18  36573  jm2.19lem1  36574  jm2.19lem2  36575  jm2.19lem3  36576  jm2.19lem4  36577  jm2.22  36580  jm2.23  36581  jm2.20nn  36582  jm2.25  36584  jm2.15nn0  36588  jm2.16nn0  36589  jm2.27c  36592  jm3.1lem3  36604  jm3.1  36605  expdiophlem1  36606  inductionexd  37473  sumnnodd  38697  wallispilem4  38961  stirlinglem3  38969  stirlinglem7  38973  stirlinglem10  38976  stirlinglem11  38977  dirkertrigeqlem1  38991  dirkertrigeqlem3  38993  dirkertrigeq  38994  dirkercncflem2  38997  fourierswlem  39123  fouriersw  39124  etransclem3  39130  etransclem7  39134  etransclem10  39137  etransclem25  39152  etransclem26  39153  etransclem27  39154  etransclem28  39155  etransclem35  39162  etransclem37  39164  etransclem44  39171  etransclem45  39172  fmtnoprmfac2lem1  40016  fmtno4prmfac  40022  2pwp1prm  40041  mod42tp1mod8  40057  lighneallem4b  40064  lighneallem4  40065  2zlidl  41724  dignn0fr  42193  dignn0flhalflem1  42207