Theorem reexpcld 12887

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
reexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
reexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		reexpcl 12739	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  ℕ₀cn0 11169  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  faclbnd  12939  facubnd  12949  explecnv  14436  geomulcvg  14446  cvgrat  14454  efcllem  14647  eftlub  14678  bitsfzolem  14994  bitsfzo  14995  vfermltlALT  15345  pclem  15381  dvdsprmpweqle  15428  taylthlem2  23932  radcnvlem1  23971  abelthlem7  23996  advlogexp  24201  leibpi  24469  ftalem1  24599  ftalem2  24600  ftalem5  24603  vma1  24692  logexprlim  24750  bposlem6  24814  gausslemma2dlem6  24897  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976  dchrisum0flblem1  24997  pntlem3  25098  ostth2lem1  25107  ostth2lem2  25123  ostth2lem3  25124  ostth3  25127  nexple  29399  eulerpartlemgc  29751  signsply0  29954  knoppcnlem2  31654  knoppcnlem4  31656  knoppcnlem6  31658  knoppcnlem10  31662  knoppndvlem11  31683  knoppndvlem14  31686  knoppndvlem15  31687  knoppndvlem17  31689  knoppndvlem18  31690  knoppndvlem21  31693  geomcau  32725  bfplem1  32791  expmordi  36530  jm2.17a  36545  jm2.17b  36546  jm2.17c  36547  jm3.1lem1  36602  jm3.1lem2  36603  xralrple4  38530  stoweidlem1  38894  stoweidlem3  38896  stoweidlem7  38900  stoweidlem12  38905  stoweidlem19  38912  stoweidlem24  38917  stoweidlem25  38918  stoweidlem40  38933  stoweidlem42  38935  stoweidlem45  38938  wallispilem1  38958  stirlinglem10  38976  stirlinglem11  38977  stirlingr  38983  etransclem23  39150  etransclem48  39175  sge0ad2en  39324  ovnsubaddlem1  39460  hoiqssbllem2  39513  lighneallem2  40061  av-numclwwlk5  41542  fllog2  42160  nnolog2flm1  42182  dig2nn1st  42197  dignn0flhalflem2  42208  nn0sumshdiglemA  42211