Theorem reexpcl 12739

Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 9872	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		remulcl 9900	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		1re 9918	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	1, 2, 3	expcllem 12733	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  ℕ₀cn0 11169  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  expgt1  12760  leexp2r  12780  leexp1a  12781  resqcl  12793  bernneq  12852  bernneq3  12854  expnbnd  12855  expnlbnd  12856  expmulnbnd  12858  digit2  12859  digit1  12860  reexpcld  12887  faclbnd  12939  faclbnd2  12940  faclbnd3  12941  faclbnd4lem1  12942  faclbnd5  12947  faclbnd6  12948  geomulcvg  14446  reeftcl  14644  ege2le3  14659  eftlub  14678  eflegeo  14690  resin4p  14707  recos4p  14708  ef01bndlem  14753  sin01bnd  14754  cos01bnd  14755  sin01gt0  14759  rpnnen2lem2  14783  rpnnen2lem4  14785  rpnnen2lem11  14792  powm2modprm  15346  prmreclem6  15463  mbfi1fseqlem6  23293  aaliou3lem8  23904  radcnvlem1  23971  abelthlem5  23993  abelthlem7  23996  tangtx  24061  advlogexp  24201  logtayllem  24205  leibpilem2  24468  leibpi  24469  leibpisum  24470  basellem3  24609  chtublem  24736  logexprlim  24750  dchrisum0flblem1  24997  pntlem3  25098  ostth2lem1  25107  ostth2lem3  25124  ostth3  25127  numclwwlk5  26639  subfacval2  30423  nn0prpw  31488  mblfinlem1  32616  mblfinlem2  32617  bfplem1  32791  rpexpmord  36531  tgoldbach  40232  tgoldbachOLD  40239  dignn0fr  42193  digexp  42199  dig2bits  42206