Theorem sin01gt0 14759

Description: The sine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 25-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sin01gt0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin01gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 9965	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1re 9918	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		elioc2 12107	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1069	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		3nn0 11187	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		reexpcl 12739	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9		3re 10971	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
10		3ne0 10992	. . . . . 6 ⊢ 3 ≠ 0
11		redivcl 10623	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	mp3an23 1408	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
13	8, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
14		3z 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
15		expgt0 12755	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
16	14, 15	mp3an2 1404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
17	16	3adant3 1074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑3))
18	4, 17	sylbi 206	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑3))
19		0lt1 10429	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
20	2, 19	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
21		3pos 10991	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
22	9, 21	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
23		1lt3 11073	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 3
24		ltdiv2 10788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → (1 < 3 ↔ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
25	23, 24	mpbii 222	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
26	20, 22, 25	mp3an12 1406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3)) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
27	26	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℝ → (0 < (𝐴↑3) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
28	8, 18, 27	sylc 63	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
29	8	recnd 9947	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
30	29	div1d 10672	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 1) = (𝐴↑3))
31	28, 30	breqtrd 4609	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < (𝐴↑3))
32		1nn0 11185	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℕ0)
34		1le3 11121	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 3
35		1z 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
36	35	eluz1i 11571	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
37	14, 34, 36	mpbir2an 957	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ (ℤ≥‘1))
39	4	simp2bi 1070	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
40		0re 9919	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
41		ltle 10005	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
42	40, 5, 41	sylancr 694	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
43	39, 42	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
44	4	simp3bi 1071	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
45	5, 33, 38, 43, 44	leexp2rd 12904	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ (𝐴↑1))
46	5	recnd 9947	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
47	46	exp1d 12865	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑1) = 𝐴)
48	45, 47	breqtrd 4609	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ 𝐴)
49	13, 8, 5, 31, 48	ltletrd 10076	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < 𝐴)
50	13, 5	posdifd 10493	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3))))
51	49, 50	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
52		sin01bnd 14754	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
53	52	simpld 474	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴))
54	5, 13	resubcld 10337	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ)
55	5	resincld 14712	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
56		lttr 9993	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
57	40, 56	mp3an1 1403	. . 3 ⊢ (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
58	54, 55, 57	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
59	51, 53, 58	mp2and 711	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  3c3 10948  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  (,]cioc 12047  ↑cexp 12722  sincsin 14633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639

This theorem is referenced by:  sin02gt0  14761  sincos1sgn  14762  sincos4thpi  24069