Theorem posdifd 10493

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
posdifd	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		posdif 10400	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   − cmin 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  possumd  10531  ltmul1a  10751  cshwcsh2id  13425  sqrlem7  13837  fsumlt  14373  bpoly4  14629  sin01gt0  14759  nno  14936  pythagtriplem10  15363  evth  22566  minveclem4  23011  ismbf3d  23227  itg2seq  23315  dvferm1lem  23551  dvferm2lem  23553  mvth  23559  dvlip  23560  dvgt0  23571  dvlt0  23572  dvge0  23573  dvcvx  23587  ftc1lem4  23606  pilem2  24010  cosordlem  24081  lgamgulmlem2  24556  lgsquadlem1  24905  brbtwn2  25585  axpaschlem  25620  axcontlem8  25651  clwlkisclwwlklem2a4  26312  clwwlkext2edg  26330  minvecolem4  27120  sgnsub  29933  signslema  29965  dnibndlem5  31642  unbdqndv2lem2  31671  knoppndvlem2  31674  knoppndvlem21  31693  poimirlem7  32586  itg2addnclem  32631  itg2gt0cn  32635  ftc1cnnclem  32653  areacirclem1  32670  areacirc  32675  irrapxlem3  36406  pell14qrgt0  36441  rmspecnonsq  36490  rmspecfund  36492  rmspecpos  36499  jm3.1lem1  36602  radcnvrat  37535  supxrgere  38490  supxrgelem  38494  dvbdfbdioolem1  38818  dvbdfbdioolem2  38819  ioodvbdlimc1lem1  38821  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  dvnxpaek  38832  wallispilem4  38961  wallispi2lem1  38964  stirlinglem11  38977  fourierdlem4  39004  fourierdlem6  39006  fourierdlem7  39007  fourierdlem19  39019  fourierdlem26  39026  fourierdlem41  39041  fourierdlem42  39042  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem51  39050  fourierdlem61  39060  fourierdlem63  39062  fourierdlem64  39063  fourierdlem65  39064  fourierdlem71  39070  fourierdlem79  39078  fourierdlem89  39088  fourierdlem90  39089  fourierdlem91  39090  fouriersw  39124  etransclem15  39142  etransclem24  39151  etransclem25  39152  etransclem35  39162  ioorrnopnlem  39200  hoidmvlelem2  39486  hoiqssbllem2  39513  iunhoiioolem  39566  nnoALTV  40144  zm1nn  40348  crctcsh1wlkn0  41024  clwlkclwwlklem2a4  41206  clwwlksext2edg  41230  fllog2  42160  dignn0flhalflem1  42207