Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapxlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrapxlem3 36406
 Description: Lemma for irrapx1 36410. By subtraction, there is a multiple very close to an integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem irrapxlem3
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 irrapxlem2 36405 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐵)∃𝑏 ∈ (0...𝐵)(𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵)))
2 1m1e0 10966 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
3 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (0...𝐵) → 𝑎 ∈ ℤ)
43ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → 𝑎 ∈ ℤ)
54zred 11358 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → 𝑎 ∈ ℝ)
6 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (0...𝐵) → 𝑏 ∈ ℤ)
76ad2antll 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → 𝑏 ∈ ℤ)
87zred 11358 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → 𝑏 ∈ ℝ)
95, 8posdifd 10493 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏𝑎)))
109biimpa 500 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 < (𝑏𝑎))
112, 10syl5eqbr 4618 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (1 − 1) < (𝑏𝑎))
12 1z 11284 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
13 simplrr 797 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ (0...𝐵))
1413, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
15 simplrl 796 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ (0...𝐵))
1615, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
1714, 16zsubcld 11363 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏𝑎) ∈ ℤ)
18 zlem1lt 11306 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑏𝑎) ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑏𝑎) ↔ (1 − 1) < (𝑏𝑎)))
1912, 17, 18sylancr 694 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (1 ≤ (𝑏𝑎) ↔ (1 − 1) < (𝑏𝑎)))
2011, 19mpbird 246 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 1 ≤ (𝑏𝑎))
2114zred 11358 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
2216zred 11358 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
2321, 22resubcld 10337 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
24 0red 9920 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 ∈ ℝ)
2521, 24resubcld 10337 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏 − 0) ∈ ℝ)
26 simpllr 795 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝐵 ∈ ℕ)
2726nnred 10912 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝐵 ∈ ℝ)
28 elfzle1 12215 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0...𝐵) → 0 ≤ 𝑎)
2915, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 ≤ 𝑎)
3024, 22, 21, 29lesub2dd 10523 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏𝑎) ≤ (𝑏 − 0))
3121recnd 9947 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℂ)
3231subid1d 10260 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏 − 0) = 𝑏)
33 elfzle2 12216 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (0...𝐵) → 𝑏𝐵)
3413, 33syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏𝐵)
3532, 34eqbrtrd 4605 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏 − 0) ≤ 𝐵)
3623, 25, 27, 30, 35letrd 10073 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏𝑎) ≤ 𝐵)
3712a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 1 ∈ ℤ)
3826nnzd 11357 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝐵 ∈ ℤ)
39 elfz 12203 . . . . . . . 8 (((𝑏𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑏𝑎) ∈ (1...𝐵) ↔ (1 ≤ (𝑏𝑎) ∧ (𝑏𝑎) ≤ 𝐵)))
4017, 37, 38, 39syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝑏𝑎) ∈ (1...𝐵) ↔ (1 ≤ (𝑏𝑎) ∧ (𝑏𝑎) ≤ 𝐵)))
4120, 36, 40mpbir2and 959 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑏𝑎) ∈ (1...𝐵))
4241adantrr 749 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵))) → (𝑏𝑎) ∈ (1...𝐵))
43 rpre 11715 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
4443ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
4544, 22remulcld 9949 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ)
4644, 21remulcld 9949 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ)
47 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
4822, 21, 47ltled 10064 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎𝑏)
49 rpgt0 11720 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
5049ad3antrrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 < 𝐴)
51 lemul2 10755 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝑎𝑏 ↔ (𝐴 · 𝑎) ≤ (𝐴 · 𝑏)))
5222, 21, 44, 50, 51syl112anc 1322 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑎𝑏 ↔ (𝐴 · 𝑎) ≤ (𝐴 · 𝑏)))
5348, 52mpbid 221 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · 𝑎) ≤ (𝐴 · 𝑏))
54 flword2 12476 . . . . . . . 8 (((𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑎) ≤ (𝐴 · 𝑏)) → (⌊‘(𝐴 · 𝑏)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝐴 · 𝑎))))
5545, 46, 53, 54syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (⌊‘(𝐴 · 𝑏)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝐴 · 𝑎))))
56 uznn0sub 11595 . . . . . . 7 ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝐴 · 𝑎))) → ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) ∈ ℕ0)
5755, 56syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) ∈ ℕ0)
5857adantrr 749 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵))) → ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) ∈ ℕ0)
5944recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝐴 ∈ ℂ)
6022recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℂ)
6159, 31, 60subdid 10365 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · (𝑏𝑎)) = ((𝐴 · 𝑏) − (𝐴 · 𝑎)))
6261oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))) = (((𝐴 · 𝑏) − (𝐴 · 𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))))
6346recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · 𝑏) ∈ ℂ)
6445recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℂ)
6546flcld 12461 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (⌊‘(𝐴 · 𝑏)) ∈ ℤ)
6665zcnd 11359 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (⌊‘(𝐴 · 𝑏)) ∈ ℂ)
6745flcld 12461 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (⌊‘(𝐴 · 𝑎)) ∈ ℤ)
6867zcnd 11359 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (⌊‘(𝐴 · 𝑎)) ∈ ℂ)
6963, 64, 66, 68sub4d 10320 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (((𝐴 · 𝑏) − (𝐴 · 𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))) = (((𝐴 · 𝑏) − (⌊‘(𝐴 · 𝑏))) − ((𝐴 · 𝑎) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))))
70 modfrac 12545 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 · 𝑏) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝑏) mod 1) = ((𝐴 · 𝑏) − (⌊‘(𝐴 · 𝑏))))
7146, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑏) mod 1) = ((𝐴 · 𝑏) − (⌊‘(𝐴 · 𝑏))))
7271eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑏) − (⌊‘(𝐴 · 𝑏))) = ((𝐴 · 𝑏) mod 1))
73 modfrac 12545 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) = ((𝐴 · 𝑎) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))
7445, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) = ((𝐴 · 𝑎) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))
7574eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑎) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) = ((𝐴 · 𝑎) mod 1))
7672, 75oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (((𝐴 · 𝑏) − (⌊‘(𝐴 · 𝑏))) − ((𝐴 · 𝑎) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))) = (((𝐴 · 𝑏) mod 1) − ((𝐴 · 𝑎) mod 1)))
7762, 69, 763eqtrd 2648 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))) = (((𝐴 · 𝑏) mod 1) − ((𝐴 · 𝑎) mod 1)))
7877fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) = (abs‘(((𝐴 · 𝑏) mod 1) − ((𝐴 · 𝑎) mod 1))))
79 1rp 11712 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 1 ∈ ℝ+)
8146, 80modcld 12536 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑏) mod 1) ∈ ℝ)
8281recnd 9947 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑏) mod 1) ∈ ℂ)
8345, 80modcld 12536 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℝ)
8483recnd 9947 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℂ)
8582, 84abssubd 14040 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (abs‘(((𝐴 · 𝑏) mod 1) − ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) = (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))))
8678, 85eqtr2d 2645 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) = (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))))
8786breq1d 4593 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵) ↔ (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) < (1 / 𝐵)))
8887biimpd 218 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵) → (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) < (1 / 𝐵)))
8988impr 647 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵))) → (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) < (1 / 𝐵))
90 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑏𝑎) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · (𝑏𝑎)))
9190oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑏𝑎) → ((𝐴 · 𝑥) − 𝑦) = ((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦))
9291fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑏𝑎) → (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) = (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦)))
9392breq1d 4593 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑏𝑎) → ((abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵) ↔ (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦)) < (1 / 𝐵)))
94 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) → ((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦) = ((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎)))))
9594fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑦 = ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) → (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦)) = (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))))
9695breq1d 4593 . . . . . 6 (𝑦 = ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) → ((abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − 𝑦)) < (1 / 𝐵) ↔ (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) < (1 / 𝐵)))
9793, 96rspc2ev 3295 . . . . 5 (((𝑏𝑎) ∈ (1...𝐵) ∧ ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘((𝐴 · (𝑏𝑎)) − ((⌊‘(𝐴 · 𝑏)) − (⌊‘(𝐴 · 𝑎))))) < (1 / 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵))
9842, 58, 89, 97syl3anc 1318 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵))
9998ex 449 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (0...𝐵))) → ((𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵)))
10099rexlimdvva 3020 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ (0...𝐵)∃𝑏 ∈ (0...𝐵)(𝑎 < 𝑏 ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝑎) mod 1) − ((𝐴 · 𝑏) mod 1))) < (1 / 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵)))
1011, 100mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐵)∃𝑦 ∈ ℕ0 (abs‘((𝐴 · 𝑥) − 𝑦)) < (1 / 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708  ...cfz 12197  ⌊cfl 12453   mod cmo 12530  abscabs 13822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824 This theorem is referenced by:  irrapxlem4  36407
 Copyright terms: Public domain W3C validator