Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signslema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signslema 29965
Description: Computational part of signwlemn . (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signslema.1 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
signslema.2 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
signslema.3 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
signslema.4 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
signslema.5 (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸)))
signslema.6 (𝜑 → ((𝐻𝐺) − (𝐹𝐸)) ∈ {0, 2})
Assertion
Ref Expression
signslema (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹)))

Proof of Theorem signslema
StepHypRef Expression
1 signslema.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸)))
21simpld 474 . . . . 5 (𝜑𝐸 < 𝐺)
32adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → 𝐸 < 𝐺)
4 signslema.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
54nn0cnd 11230 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
6 signslema.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11230 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
85, 7subcld 10271 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ ℂ)
9 signslema.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
109nn0cnd 11230 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
11 signslema.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11230 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1310, 12subcld 10271 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝐸) ∈ ℂ)
148, 13subeq0ad 10281 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0 ↔ (𝐻𝐹) = (𝐺𝐸)))
1514biimpa 500 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐻𝐹) = (𝐺𝐸))
1615breq2d 4595 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (0 < (𝐻𝐹) ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
176nn0red 11229 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
184nn0red 11229 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
1917, 18posdifd 10493 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻𝐹)))
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻𝐹)))
2111nn0red 11229 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
229nn0red 11229 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
2321, 22posdifd 10493 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
2516, 20, 243bitr4rd 300 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐸 < 𝐺𝐹 < 𝐻))
263, 25mpbid 221 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → 𝐹 < 𝐻)
27 0red 9920 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 0 ∈ ℝ)
2822, 21resubcld 10337 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐸) ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐺𝐸) ∈ ℝ)
3018, 17resubcld 10337 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ ℝ)
3130adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐻𝐹) ∈ ℝ)
322adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 𝐸 < 𝐺)
3323adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
3432, 33mpbid 221 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 0 < (𝐺𝐸))
35 2pos 10989 . . . . . . 7 0 < 2
36 breq2 4587 . . . . . . 7 (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2 → (0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ↔ 0 < 2))
3735, 36mpbiri 247 . . . . . 6 (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2 → 0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)))
3828, 30posdifd 10493 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝐸) < (𝐻𝐹) ↔ 0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸))))
3938biimpar 501 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸))) → (𝐺𝐸) < (𝐻𝐹))
4037, 39sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐺𝐸) < (𝐻𝐹))
4127, 29, 31, 34, 40lttrd 10077 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 0 < (𝐻𝐹))
4219adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻𝐹)))
4341, 42mpbird 246 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 𝐹 < 𝐻)
445, 10, 7, 12sub4d 10320 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝐺) − (𝐹𝐸)) = ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)))
45 signslema.6 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝐺) − (𝐹𝐸)) ∈ {0, 2})
4644, 45eqeltrrd 2689 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ∈ {0, 2})
47 ovex 6577 . . . . 5 ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ∈ V
4847elpr 4146 . . . 4 (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ∈ {0, 2} ↔ (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0 ∨ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2))
4946, 48sylib 207 . . 3 (𝜑 → (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0 ∨ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2))
5026, 43, 49mpjaodan 823 . 2 (𝜑𝐹 < 𝐻)
511simprd 478 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸))
5251adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸))
5315breq2d 4595 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (2 ∥ (𝐻𝐹) ↔ 2 ∥ (𝐺𝐸)))
5452, 53mtbird 314 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹))
55 2z 11286 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
569nn0zd 11356 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
5711nn0zd 11356 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
5856, 57zsubcld 11363 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐸) ∈ ℤ)
59 dvdsaddr 14863 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐺𝐸) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐺𝐸) ↔ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2)))
6055, 58, 59sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (2 ∥ (𝐺𝐸) ↔ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2)))
6151, 60mtbid 313 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2))
6261adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → ¬ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2))
63 2cnd 10970 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
648, 13, 63subaddd 10289 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2 ↔ ((𝐺𝐸) + 2) = (𝐻𝐹)))
6564biimpa 500 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → ((𝐺𝐸) + 2) = (𝐻𝐹))
6665breq2d 4595 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2) ↔ 2 ∥ (𝐻𝐹)))
6762, 66mtbid 313 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹))
6854, 67, 49mpjaodan 823 . 2 (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹))
6950, 68jca 553 1 (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  {cpr 4127   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   < clt 9953  cmin 10145  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cdvds 14821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-dvds 14822
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator