Proof of Theorem signslema
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | signslema.5 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐺 − 𝐸))) |
2 | 1 | simpld 474 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐸 < 𝐺) |
3 | 2 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → 𝐸 < 𝐺) |
4 | | signslema.4 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈
ℕ0) |
5 | 4 | nn0cnd 11230 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ) |
6 | | signslema.2 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈
ℕ0) |
7 | 6 | nn0cnd 11230 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ) |
8 | 5, 7 | subcld 10271 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝐹) ∈ ℂ) |
9 | | signslema.3 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈
ℕ0) |
10 | 9 | nn0cnd 11230 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ) |
11 | | signslema.1 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈
ℕ0) |
12 | 11 | nn0cnd 11230 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ) |
13 | 10, 12 | subcld 10271 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ∈ ℂ) |
14 | 8, 13 | subeq0ad 10281 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0 ↔ (𝐻 − 𝐹) = (𝐺 − 𝐸))) |
15 | 14 | biimpa 500 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → (𝐻 − 𝐹) = (𝐺 − 𝐸)) |
16 | 15 | breq2d 4595 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → (0 < (𝐻 − 𝐹) ↔ 0 < (𝐺 − 𝐸))) |
17 | 6 | nn0red 11229 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ) |
18 | 4 | nn0red 11229 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ) |
19 | 17, 18 | posdifd 10493 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻 − 𝐹))) |
20 | 19 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻 − 𝐹))) |
21 | 11 | nn0red 11229 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ) |
22 | 9 | nn0red 11229 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ) |
23 | 21, 22 | posdifd 10493 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺 − 𝐸))) |
24 | 23 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺 − 𝐸))) |
25 | 16, 20, 24 | 3bitr4rd 300 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → (𝐸 < 𝐺 ↔ 𝐹 < 𝐻)) |
26 | 3, 25 | mpbid 221 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → 𝐹 < 𝐻) |
27 | | 0red 9920 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → 0 ∈
ℝ) |
28 | 22, 21 | resubcld 10337 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ∈ ℝ) |
29 | 28 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → (𝐺 − 𝐸) ∈ ℝ) |
30 | 18, 17 | resubcld 10337 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐻 − 𝐹) ∈ ℝ) |
31 | 30 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → (𝐻 − 𝐹) ∈ ℝ) |
32 | 2 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → 𝐸 < 𝐺) |
33 | 23 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺 − 𝐸))) |
34 | 32, 33 | mpbid 221 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → 0 < (𝐺 − 𝐸)) |
35 | | 2pos 10989 |
. . . . . . 7
⊢ 0 <
2 |
36 | | breq2 4587 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2 → (0 < ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) ↔ 0 < 2)) |
37 | 35, 36 | mpbiri 247 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2 → 0 < ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸))) |
38 | 28, 30 | posdifd 10493 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐸) < (𝐻 − 𝐹) ↔ 0 < ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)))) |
39 | 38 | biimpar 501 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸))) → (𝐺 − 𝐸) < (𝐻 − 𝐹)) |
40 | 37, 39 | sylan2 490 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → (𝐺 − 𝐸) < (𝐻 − 𝐹)) |
41 | 27, 29, 31, 34, 40 | lttrd 10077 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → 0 < (𝐻 − 𝐹)) |
42 | 19 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻 − 𝐹))) |
43 | 41, 42 | mpbird 246 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → 𝐹 < 𝐻) |
44 | 5, 10, 7, 12 | sub4d 10320 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝐺) − (𝐹 − 𝐸)) = ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸))) |
45 | | signslema.6 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝐺) − (𝐹 − 𝐸)) ∈ {0, 2}) |
46 | 44, 45 | eqeltrrd 2689 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) ∈ {0, 2}) |
47 | | ovex 6577 |
. . . . 5
⊢ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) ∈ V |
48 | 47 | elpr 4146 |
. . . 4
⊢ (((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) ∈ {0, 2} ↔ (((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0 ∨ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2)) |
49 | 46, 48 | sylib 207 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0 ∨ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2)) |
50 | 26, 43, 49 | mpjaodan 823 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝐹 < 𝐻) |
51 | 1 | simprd 478 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐺 − 𝐸)) |
52 | 51 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → ¬ 2 ∥ (𝐺 − 𝐸)) |
53 | 15 | breq2d 4595 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → (2 ∥ (𝐻 − 𝐹) ↔ 2 ∥ (𝐺 − 𝐸))) |
54 | 52, 53 | mtbird 314 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 0) → ¬ 2 ∥ (𝐻 − 𝐹)) |
55 | | 2z 11286 |
. . . . . . 7
⊢ 2 ∈
ℤ |
56 | 9 | nn0zd 11356 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ) |
57 | 11 | nn0zd 11356 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ) |
58 | 56, 57 | zsubcld 11363 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐸) ∈ ℤ) |
59 | | dvdsaddr 14863 |
. . . . . . 7
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ (𝐺
− 𝐸) ∈ ℤ)
→ (2 ∥ (𝐺
− 𝐸) ↔ 2 ∥
((𝐺 − 𝐸) + 2))) |
60 | 55, 58, 59 | sylancr 694 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐺 − 𝐸) ↔ 2 ∥ ((𝐺 − 𝐸) + 2))) |
61 | 51, 60 | mtbid 313 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ ((𝐺 − 𝐸) + 2)) |
62 | 61 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → ¬ 2 ∥ ((𝐺 − 𝐸) + 2)) |
63 | | 2cnd 10970 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
64 | 8, 13, 63 | subaddd 10289 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2 ↔ ((𝐺 − 𝐸) + 2) = (𝐻 − 𝐹))) |
65 | 64 | biimpa 500 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → ((𝐺 − 𝐸) + 2) = (𝐻 − 𝐹)) |
66 | 65 | breq2d 4595 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → (2 ∥ ((𝐺 − 𝐸) + 2) ↔ 2 ∥ (𝐻 − 𝐹))) |
67 | 62, 66 | mtbid 313 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐻 − 𝐹) − (𝐺 − 𝐸)) = 2) → ¬ 2 ∥ (𝐻 − 𝐹)) |
68 | 54, 67, 49 | mpjaodan 823 |
. 2
⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐻 − 𝐹)) |
69 | 50, 68 | jca 553 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐻 − 𝐹))) |