Proof of Theorem axcontlem8
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | axcontlem8.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} |
2 | | axcontlem8.2 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} |
3 | 1, 2 | axcontlem6 25649 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) |
4 | 3 | ex 449 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → (𝑃 ∈ 𝐷 → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))) |
5 | 1, 2 | axcontlem6 25649 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑄 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))))) |
6 | 5 | ex 449 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → (𝑄 ∈ 𝐷 → ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))))) |
7 | 1, 2 | axcontlem6 25649 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑅 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) |
8 | 7 | ex 449 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → (𝑅 ∈ 𝐷 → ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
9 | 4, 6, 8 | 3anim123d 1398 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷) → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))) |
10 | 9 | imp 444 |
. . . . 5
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
11 | 10 | adantr 480 |
. . . 4
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
12 | | 3an6 1401 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞)) ∧
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
13 | | 0elunit 12161 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 0 ∈
(0[,]1) |
14 | | simplr1 1096 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → (𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞)) |
15 | 14 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞)) |
16 | | elrege0 12149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑃))) |
17 | 16 | simplbi 475 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ) |
18 | 15, 17 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ) |
19 | 18 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) |
20 | | simprrl 800 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) |
21 | 20 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) |
22 | | simprrr 801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)) |
23 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅)) |
24 | 22, 23 | breqtrrd 4611 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑃)) |
25 | 24 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑃)) |
26 | | simplr2 1097 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) |
27 | 26 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) |
28 | | elrege0 12149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑄))) |
29 | 28 | simplbi 475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ) |
30 | 27, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ) |
31 | 18, 30 | letri3d 10058 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) ↔ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑃)))) |
32 | 21, 25, 31 | mpbir2and 959 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄)) |
33 | | simpll 786 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅)) |
34 | | simpll2 1094 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
35 | 34 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
36 | 35 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
37 | | fveecn 25582 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ) |
38 | 36, 37 | sylancom 698 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ) |
39 | | simpll3 1095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
40 | 39 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
41 | 40 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
42 | | fveecn 25582 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) |
43 | 41, 42 | sylancom 698 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) |
44 | | ax-1cn 9873 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 1 ∈
ℂ |
45 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) |
46 | | subcl 10159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ) |
47 | 44, 45, 46 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ) |
48 | | simprl 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ) |
49 | 47, 48 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ) |
50 | | mulcl 9899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ) |
51 | 50 | adantrl 748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ) |
52 | 49, 51 | addcld 9938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∈ ℂ) |
53 | 52 | mulid2d 9937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (1 · (((1
− (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) |
54 | 52 | mul02d 10113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (0 · (((1
− (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) = 0) |
55 | 53, 54 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 · (((1
− (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) = ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) + 0)) |
56 | 52 | addid1d 10115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 −
(𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) + 0) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) |
57 | 55, 56 | eqtr2d 2645 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))) |
58 | 57 | 3adant2 1073 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))) |
59 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) → (1 − (𝐹‘𝑃)) = (1 − (𝐹‘𝑄))) |
60 | 59 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) → ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) = ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖))) |
61 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) = ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) |
62 | 60, 61 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) → (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) |
63 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) → (1 − (𝐹‘𝑃)) = (1 − (𝐹‘𝑅))) |
64 | 63 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) → ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) = ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖))) |
65 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) = ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))) |
66 | 64, 65 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) → (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) |
67 | 66 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) → (0 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) = (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) |
68 | 67 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) → ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
69 | 62, 68 | eqeqan12d 2626 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅)) → ((((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))) |
70 | 69 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 −
(𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))) |
71 | 58, 70 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
72 | 19, 32, 33, 38, 43, 71 | syl122anc 1327 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
73 | 72 | ralrimiva 2949 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
74 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 −
0)) |
75 | | 1m0e1 11008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (1
− 0) = 1 |
76 | 74, 75 | syl6eq 2660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1) |
77 | 76 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) = (1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) |
78 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) = (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) |
79 | 77, 78 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑡 = 0 → (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
80 | 79 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑡 = 0 → ((((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))) |
81 | 80 | ralbidv 2969 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 = 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))) |
82 | 81 | rspcev 3282 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((0
∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = ((1 · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (0 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
83 | 13, 73, 82 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
84 | 83 | ex 449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑅) → (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))) |
85 | 26 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) |
86 | 85, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℝ) |
87 | | simplr3 1098 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞)) |
88 | 87 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞)) |
89 | | elrege0 12149 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑅))) |
90 | 89 | simplbi 475 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑅) ∈ ℝ) |
91 | 88, 90 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑅) ∈ ℝ) |
92 | 14 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞)) |
93 | 92, 17 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ) |
94 | | simprrr 801 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)) |
95 | 86, 91, 93, 94 | lesub1dd 10522 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ≤ ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) |
96 | 86, 93 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ) |
97 | | simprrl 800 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄)) |
98 | 86, 93 | subge0d 10496 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (0 ≤ ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ↔ (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄))) |
99 | 97, 98 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) |
100 | 91, 93 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ) |
101 | 93, 86, 91, 97, 94 | letrd 10073 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑅)) |
102 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) |
103 | 102 | necomd 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑅) ≠ (𝐹‘𝑃)) |
104 | 93, 91 | ltlend 10061 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ((𝐹‘𝑃) < (𝐹‘𝑅) ↔ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑅) ≠ (𝐹‘𝑃)))) |
105 | 101, 103,
104 | mpbir2and 959 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑃) < (𝐹‘𝑅)) |
106 | 93, 91 | posdifd 10493 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ((𝐹‘𝑃) < (𝐹‘𝑅) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) |
107 | 105, 106 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → 0 < ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) |
108 | | divelunit 12185 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) ∧ (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ≤ ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) |
109 | 96, 99, 100, 107, 108 | syl22anc 1319 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ≤ ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) |
110 | 95, 109 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) ∈ (0[,]1)) |
111 | 14 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞)) |
112 | 17 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) |
113 | 111, 112 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) |
114 | | simpll 786 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) |
115 | 26 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞)) |
116 | 29 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) |
117 | 115, 116 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) |
118 | 87 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞)) |
119 | 90 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) → (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) |
120 | 118, 119 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) |
121 | 34 | ad2antrl 760 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
122 | 121, 37 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ) |
123 | 39 | ad2antrl 760 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
124 | 123, 42 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) |
125 | | simp2r 1081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) |
126 | | simp2l 1080 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) |
127 | 125, 126 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) |
128 | | simp1l 1078 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) |
129 | 44, 128, 46 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ) |
130 | 127, 129 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) ∈ ℂ) |
131 | 126, 128 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ) |
132 | | subcl 10159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ) |
133 | 44, 125, 132 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ) |
134 | 131, 133 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) ∈ ℂ) |
135 | 125, 128 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ) |
136 | | simp1r 1079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) |
137 | 136 | necomd 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑅) ≠ (𝐹‘𝑃)) |
138 | 125, 128,
137 | subne0d 10280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) ≠ 0) |
139 | 130, 134,
135, 138 | divdird 10718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))))) |
140 | 135 | mulid1d 9936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · 1) = ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) |
141 | 135, 126 | mulcomd 9940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄)) = ((𝐹‘𝑄) · ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) |
142 | 126, 125,
128 | subdid 10365 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑄) · ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)))) |
143 | 141, 142 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄)) = (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)))) |
144 | 140, 143 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄))) = (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) − (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))))) |
145 | | subdi 10342 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ
∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) →
(((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄)))) |
146 | 44, 145 | mp3an2 1404 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄)))) |
147 | 135, 126,
146 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄)))) |
148 | | subdi 10342 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ
∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) →
(((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)))) |
149 | 44, 148 | mp3an2 1404 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)))) |
150 | 127, 128,
149 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)))) |
151 | 127 | mulid1d 9936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · 1) = ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄))) |
152 | 125, 126,
128 | subdird 10366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) = (((𝐹‘𝑅) · (𝐹‘𝑃)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)))) |
153 | 125, 128 | mulcomd 9940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑅) · (𝐹‘𝑃)) = ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅))) |
154 | 153 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) · (𝐹‘𝑃)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))) = (((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)))) |
155 | 152, 154 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) = (((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)))) |
156 | 151, 155 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · 1) − (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃))) = (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) − (((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))))) |
157 | 150, 156 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) = (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) − (((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))))) |
158 | | subdi 10342 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ
∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) →
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅)))) |
159 | 44, 158 | mp3an2 1404 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅)))) |
160 | 131, 125,
159 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅)))) |
161 | 131 | mulid1d 9936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · 1) = ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) |
162 | 126, 128,
125 | subdird 10366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅)) = (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)))) |
163 | 161, 162 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · 1) − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))) = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) − (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅))))) |
164 | 160, 163 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) − (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅))))) |
165 | 157, 164 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) − (((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) − (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)))))) |
166 | 128, 125 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ) |
167 | 126, 128 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ) |
168 | 166, 167 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))) ∈ ℂ) |
169 | | mulcl 9899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ) |
170 | 169 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ) |
171 | 170, 166 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅))) ∈ ℂ) |
172 | 127, 131,
168, 171 | addsub4d 10318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) + ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) − ((((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅))))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) − (((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) − (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)))))) |
173 | 125, 126,
128 | npncand 10295 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) + ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) = ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) |
174 | 166, 167,
170 | npncan3d 10307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)))) = (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃)))) |
175 | 173, 174 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) + ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) − ((((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅))))) = (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) − (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))))) |
176 | 165, 172,
175 | 3eqtr2d 2650 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) = (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) − (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))))) |
177 | 144, 147,
176 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))))) |
178 | 130, 134 | addcld 9938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) ∈ ℂ) |
179 | | subcl 10159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ ℂ) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) |
180 | 44, 126, 179 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑄)) ∈ ℂ) |
181 | 178, 135,
180, 138 | divmuld 10702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (1 − (𝐹‘𝑄)) ↔ (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑄))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅)))))) |
182 | 177, 181 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (1 − (𝐹‘𝑄))) |
183 | 127, 129,
135, 138 | div23d 10717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑃)))) |
184 | 135, 131,
135, 138 | divsubdird 10719 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) − ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))))) |
185 | 125, 126,
128 | nnncan2d 10306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) − ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) = ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄))) |
186 | 185 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) − ((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) |
187 | 135, 138 | dividd 10678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = 1) |
188 | 187 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) = (1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))))) |
189 | 184, 186,
188 | 3eqtr3d 2652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))))) |
190 | 189 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) = ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃)))) |
191 | 183, 190 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃)))) |
192 | 131, 133,
135, 138 | div23d 10717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) |
193 | 191, 192 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (1 − (𝐹‘𝑃))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (1 − (𝐹‘𝑅))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅))))) |
194 | 139, 182,
193 | 3eqtr3d 2652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (1 − (𝐹‘𝑄)) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅))))) |
195 | 194 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) = ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) · (𝑍‘𝑖))) |
196 | 127, 128 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ) |
197 | 131, 125 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ) |
198 | 196, 197,
135, 138 | divdird 10718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))))) |
199 | 155, 162 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))) = ((((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑃))) + (((𝐹‘𝑄) · (𝐹‘𝑅)) − ((𝐹‘𝑃) · (𝐹‘𝑅))))) |
200 | 174, 199,
143 | 3eqtr4rd 2655 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄)) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅)))) |
201 | 196, 197 | addcld 9938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))) ∈ ℂ) |
202 | 201, 135,
126, 138 | divmuld 10702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (𝐹‘𝑄) ↔ (((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑄)) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))))) |
203 | 200, 202 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) + (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅))) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = (𝐹‘𝑄)) |
204 | 127, 128,
135, 138 | div23d 10717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑃))) |
205 | 189 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑃)) = ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃))) |
206 | 204, 205 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃))) |
207 | 131, 125,
135, 138 | div23d 10717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅))) |
208 | 206, 207 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑄)) · (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) · (𝐹‘𝑅)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅)))) |
209 | 198, 203,
208 | 3eqtr3d 2652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑄) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅)))) |
210 | 209 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)) = ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅))) · (𝑈‘𝑖))) |
211 | 195, 210 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) · (𝑍‘𝑖)) + ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅))) · (𝑈‘𝑖)))) |
212 | 131, 135,
138 | divcld 10680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) ∈ ℂ) |
213 | | subcl 10159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) ∈ ℂ) → (1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) ∈ ℂ) |
214 | 44, 212, 213 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) ∈ ℂ) |
215 | | simp3l 1082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝑍‘𝑖) ∈ ℂ) |
216 | 129, 215 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ) |
217 | 214, 216 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) ∈ ℂ) |
218 | 133, 215 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) ∈ ℂ) |
219 | 212, 218 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖))) ∈ ℂ) |
220 | | simp3r 1083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ) |
221 | 128, 220 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ) |
222 | 214, 221 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∈ ℂ) |
223 | 125, 220 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)) ∈ ℂ) |
224 | 212, 223 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))) ∈ ℂ) |
225 | 217, 219,
222, 224 | add4d 10143 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)))) + (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) = ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) + ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
226 | 214, 129 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) ∈ ℂ) |
227 | 212, 133 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅))) ∈ ℂ) |
228 | 226, 227,
215 | adddird 9944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) · (𝑍‘𝑖)) = ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) · (𝑍‘𝑖)) + (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅))) · (𝑍‘𝑖)))) |
229 | 214, 129,
215 | mulassd 9942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) · (𝑍‘𝑖)) = ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)))) |
230 | 212, 133,
215 | mulassd 9942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅))) · (𝑍‘𝑖)) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)))) |
231 | 229, 230 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) · (𝑍‘𝑖)) + (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅))) · (𝑍‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖))))) |
232 | 228, 231 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) · (𝑍‘𝑖)) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖))))) |
233 | 214, 128 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ) |
234 | 212, 125 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅)) ∈ ℂ) |
235 | 233, 234,
220 | adddird 9944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅))) · (𝑈‘𝑖)) = ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) · (𝑈‘𝑖)) + (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅)) · (𝑈‘𝑖)))) |
236 | 214, 128,
220 | mulassd 9942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) · (𝑈‘𝑖)) = ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) |
237 | 212, 125,
220 | mulassd 9942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅)) · (𝑈‘𝑖)) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) |
238 | 236, 237 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) · (𝑈‘𝑖)) + (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅)) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) |
239 | 235, 238 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅))) · (𝑈‘𝑖)) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) |
240 | 232, 239 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) · (𝑍‘𝑖)) + ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅))) · (𝑈‘𝑖))) = ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)))) + (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
241 | 214, 216,
221 | adddid 9943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) + ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) |
242 | 212, 218,
223 | adddid 9943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) = (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) |
243 | 241, 242 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) = ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖))) + ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
244 | 225, 240,
243 | 3eqtr4rd 2655 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 −
(((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) = (((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (1 − (𝐹‘𝑃))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (1 − (𝐹‘𝑅)))) · (𝑍‘𝑖)) + ((((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (𝐹‘𝑃)) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (𝐹‘𝑅))) · (𝑈‘𝑖)))) |
245 | 211, 244 | eqtr4d 2647 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅)) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ ℂ) ∧ ((𝑍‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑖) ∈ ℂ)) → (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
246 | 113, 114,
117, 120, 122, 124, 245 | syl222anc 1334 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
247 | 246 | ralrimiva 2949 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
248 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑡 = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) → (1 − 𝑡) = (1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))))) |
249 | 248 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑡 = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) → ((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) = ((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) |
250 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑡 = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) → (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) = ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) |
251 | 249, 250 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑡 = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) → (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
252 | 251 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑡 = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) → ((((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))) |
253 | 252 | ralbidv 2969 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 = (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))) |
254 | 253 | rspcev 3282 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − (((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃)))) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + ((((𝐹‘𝑄) − (𝐹‘𝑃)) / ((𝐹‘𝑅) − (𝐹‘𝑃))) · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
255 | 110, 247,
254 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) ∧ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
256 | 255 | ex 449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑅) → (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))) |
257 | 84, 256 | pm2.61ine 2865 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
258 | | r19.26-3 3048 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) |
259 | | simp2 1055 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) |
260 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) → ((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))) |
261 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))) → (𝑡 · (𝑅‘𝑖)) = (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) |
262 | 260, 261 | oveqan12d 6568 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
263 | 262 | 3adant2 1073 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) |
264 | 259, 263 | eqeq12d 2625 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → ((𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))) |
265 | 264 | ralimi 2936 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))) |
266 | | ralbi 3050 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)((𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) ↔ (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))) |
267 | 265, 266 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))) |
268 | 267 | rexbidv 3034 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))))) |
269 | 268 | biimprcd 239 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑡 ∈
(0[,]1)∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ (𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))))) |
270 | 258, 269 | syl5bir 232 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑡 ∈
(0[,]1)∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) + (𝑡 · (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))))) |
271 | 257, 270 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))))) |
272 | 271 | an32s 842 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞))) →
((∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))))) |
273 | 272 | expimpd 627 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞)) ∧
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))))) |
274 | 273 | adantlr 747 |
. . . . 5
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ (𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞)) ∧
(∀𝑖 ∈
(1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))))) |
275 | 12, 274 | syl5bi 231 |
. . . 4
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ((((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑄) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑄)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑄) · (𝑈‘𝑖)))) ∧ ((𝐹‘𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑅‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑅)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑅) · (𝑈‘𝑖))))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))))) |
276 | 11, 275 | mpd 15 |
. . 3
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖)))) |
277 | | simpl1 1057 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝑁 ∈ ℕ) |
278 | | ssrab2 3650 |
. . . . . . . . 9
⊢ {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} ⊆ (𝔼‘𝑁) |
279 | 1, 278 | eqsstri 3598 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝐷 ⊆ (𝔼‘𝑁) |
280 | 279 | sseli 3564 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑄 ∈ 𝐷 → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
281 | 279 | sseli 3564 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑃 ∈ 𝐷 → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
282 | 279 | sseli 3564 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑅 ∈ 𝐷 → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
283 | 280, 281,
282 | 3anim123i 1240 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) |
284 | 283 | 3com12 1261 |
. . . . 5
⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) |
285 | | brbtwn 25579 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑄 Btwn 〈𝑃, 𝑅〉 ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))))) |
286 | 285 | adantl 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑄 Btwn 〈𝑃, 𝑅〉 ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))))) |
287 | 277, 284,
286 | syl2an 493 |
. . . 4
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) → (𝑄 Btwn 〈𝑃, 𝑅〉 ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))))) |
288 | 287 | adantr 480 |
. . 3
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → (𝑄 Btwn 〈𝑃, 𝑅〉 ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑃‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑅‘𝑖))))) |
289 | 276, 288 | mpbird 246 |
. 2
⊢
(((((𝑁 ∈
ℕ ∧ 𝑍 ∈
(𝔼‘𝑁) ∧
𝑈 ∈
(𝔼‘𝑁)) ∧
𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅))) → 𝑄 Btwn 〈𝑃, 𝑅〉) |
290 | 289 | ex 449 |
1
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑄 ∈ 𝐷 ∧ 𝑅 ∈ 𝐷)) → (((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑄) ∧ (𝐹‘𝑄) ≤ (𝐹‘𝑅)) → 𝑄 Btwn 〈𝑃, 𝑅〉)) |