Theorem subdird 10366

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdir 10343	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1318	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   · cmul 9820   − cmin 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147

This theorem is referenced by:  subdir2d  10367  mulsubfacd  10371  ltmul1a  10751  xp1d2m1eqxm1d2  11163  div4p1lem1div2  11164  lincmb01cmp  12186  iccf1o  12187  modmul1  12585  remullem  13716  mulcn2  14174  fsumparts  14379  geo2sum  14443  fallfacfwd  14606  bpoly4  14629  modprm0  15348  mul4sqlem  15495  vdwapun  15516  icopnfcnv  22549  itgconst  23391  itgmulc2lem2  23405  dvmulbr  23508  dvrec  23524  dvsincos  23548  cmvth  23558  dvcvx  23587  dvfsumlem1  23593  dvfsumlem2  23594  coeeulem  23784  abelthlem6  23994  tangtx  24061  tanarg  24169  logdivlti  24170  logcnlem4  24191  affineequiv  24353  affineequiv2  24354  chordthmlem2  24360  chordthmlem4  24362  mcubic  24374  dquartlem2  24379  quart1lem  24382  quart1  24383  quartlem1  24384  dvatan  24462  atantayl  24464  lgamcvg2  24581  wilthlem2  24595  logfaclbnd  24747  logexprlim  24750  perfectlem2  24755  dchrsum2  24793  sumdchr2  24795  bposlem9  24817  lgsquadlem1  24905  chebbnd1lem3  24960  rpvmasumlem  24976  log2sumbnd  25033  chpdifbndlem1  25042  selberg3lem1  25046  selberg4lem1  25049  selbergr  25057  selberg3r  25058  selberg4r  25059  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem5  25070  pntibndlem2  25080  pntlemo  25096  ttgcontlem1  25565  brbtwn2  25585  colinearalglem1  25586  axsegconlem9  25605  axcontlem2  25645  axcontlem7  25650  axcontlem8  25651  2sqmod  28979  sinccvglem  30820  bj-bary1lem  32337  bj-bary1lem1  32338  itgmulc2nclem2  32647  bfp  32793  pellexlem6  36416  congmul  36552  areaquad  36821  itgsinexp  38846  stoweidlem13  38906  stoweidlem14  38907  stoweidlem26  38919  fourierdlem6  39006  fourierdlem26  39026  fourierdlem42  39042  fourierdlem65  39064  fourierdlem95  39094  smfmullem1  39676  sigarmf  39692  cevathlem2  39706  pwdif  40039  perfectALTVlem2  40165  joinlmulsubmuld  42329