Theorem elrege0 12149

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9919	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 12140	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954  [,)cico 12048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ico 12052

This theorem is referenced by:  nn0rp0  12150  rge0ssre  12151  0e0icopnf  12153  ge0addcl  12155  ge0mulcl  12156  fsumge0  14368  fprodge0  14563  isabvd  18643  abvge0  18648  nmolb  22331  nmoge0  22335  nmoi  22342  icopnfcnv  22549  cphsqrtcl  22792  tchcph  22844  ovolfsf  23047  ovolmge0  23052  ovolunlem1a  23071  ovoliunlem1  23077  ovolicc2lem4  23095  ioombl1lem4  23136  uniioombllem2  23157  uniioombllem6  23162  0plef  23245  i1fpos  23279  mbfi1fseqlem1  23288  mbfi1fseqlem3  23290  mbfi1fseqlem4  23291  mbfi1fseqlem5  23292  mbfi1fseqlem6  23293  mbfi1flimlem  23295  itg2const  23313  itg2const2  23314  itg2mulclem  23319  itg2mulc  23320  itg2monolem1  23323  itg2mono  23326  itg2addlem  23331  itg2gt0  23333  itg2cnlem1  23334  itg2cnlem2  23335  itg2cn  23336  iblconst  23390  itgconst  23391  ibladdlem  23392  itgaddlem1  23395  iblabslem  23400  iblabs  23401  iblmulc2  23403  itgmulc2lem1  23404  bddmulibl  23411  itggt0  23414  itgcn  23415  dvge0  23573  dvle  23574  dvfsumrlim  23598  cxpcn3lem  24288  cxpcn3  24289  resqrtcn  24290  loglesqrt  24299  areaf  24488  areacl  24489  areage0  24490  rlimcnp3  24494  jensenlem2  24514  jensen  24515  amgmlem  24516  amgm  24517  dchrisumlem3  24980  dchrmusumlema  24982  dchrmusum2  24983  dchrvmasumlem2  24987  dchrvmasumiflem1  24990  dchrisum0lema  25003  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem2  25007  axcontlem2  25645  axcontlem7  25650  axcontlem8  25651  axcontlem10  25653  rge0scvg  29323  esumpcvgval  29467  hasheuni  29474  esumcvg  29475  sibfof  29729  mbfposadd  32627  itg2addnclem2  32632  itg2addnclem3  32633  itg2addnc  32634  itg2gt0cn  32635  ibladdnclem  32636  itgaddnclem1  32638  iblabsnclem  32643  iblabsnc  32644  iblmulc2nc  32645  itgmulc2nclem1  32646  bddiblnc  32650  itggt0cn  32652  ftc1anclem3  32657  ftc1anclem4  32658  ftc1anclem5  32659  ftc1anclem6  32660  ftc1anclem7  32661  ftc1anclem8  32662  areacirclem2  32671  sge0iunmptlemfi  39306  digvalnn0  42191  nn0digval  42192  dignn0fr  42193  dig2nn1st  42197  digexp  42199