Theorem divdird 10718

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 10589	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1322	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   + caddc 9818   / cdiv 10563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564

This theorem is referenced by:  zesq  12849  sqreulem  13947  bitsp1o  14993  bitsmod  14996  lcmgcdlem  15157  pythagtriplem19  15376  fldivp1  15439  mul4sqlem  15495  4sqlem17  15503  metnrmlem3  22472  pcoass  22632  ovollb2lem  23063  opnmbllem  23175  dvaddbr  23507  dvmulbr  23508  ftc1lem4  23606  vieta1lem2  23870  cosargd  24158  tanarg  24169  cxpaddle  24293  cxpeq  24298  dcubic1lem  24370  dcubic2  24371  mcubic  24374  cubic2  24375  dquartlem1  24378  dquart  24380  cosatan  24448  atantan  24450  dvatan  24462  jensenlem2  24514  logdifbnd  24520  emcllem3  24524  emcllem5  24526  dmgmdivn0  24554  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem5  24559  lgamcvg2  24581  lgam1  24590  basellem3  24609  basellem8  24614  perfectlem2  24755  bclbnd  24805  lgseisenlem1  24900  lgsquad2lem1  24909  dchrvmasum2if  24986  selberg3  25048  selberg4  25050  selberg34r  25060  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6  25072  pntibndlem2  25080  brbtwn2  25585  axsegconlem10  25606  axeuclidlem  25642  axcontlem8  25651  dya2icoseg  29666  divcnvlin  30871  iprodgam  30881  knoppndvlem9  31681  bj-bary1lem  32337  bj-bary1  32339  poimirlem29  32608  opnmbllem0  32615  dvtan  32630  ftc1cnnclem  32653  dvasin  32666  areacirclem1  32670  reglogmul  36475  binomcxplemwb  37569  clim1fr1  38668  coseq0  38747  stirlinglem4  38970  stirlinglem6  38972  dirkerper  38989  dirkertrigeqlem3  38993  dirkercncflem1  38996  dirkercncflem2  38997  fourierdlem4  39004  fourierdlem26  39026  fourierdlem42  39042  fourierdlem83  39082  fourierdlem112  39111  sqwvfourb  39122  etransclem44  39171  perfectALTVlem2  40165  cotsqcscsq  42302