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Theorem axcontlem10 25653
 Description: Lemma for axcont 25656. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem10.1 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem10.2 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑝,𝑥   𝐵,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝐷,𝑝,𝑡,𝑥   𝐹,𝑏   𝑖,𝐹,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝐹   𝑁,𝑏   𝑖,𝑁,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝑁   𝑈,𝑏   𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝑈   𝑍,𝑏   𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑡,𝑖)   𝐵(𝑡,𝑖)   𝐷(𝑦,𝑖,𝑏)

Proof of Theorem axcontlem10
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5396 . . . . 5 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
2 simpll 786 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 simprl1 1099 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
4 simplr1 1096 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁))
5 simprl2 1100 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑈𝐴)
64, 5sseldd 3569 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
7 simprr 792 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑍𝑈)
8 axcontlem10.1 . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
9 axcontlem10.2 . . . . . . . 8 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
108, 9axcontlem2 25645 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) → 𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞))
112, 3, 6, 7, 10syl31anc 1321 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞))
12 f1ofo 6057 . . . . . 6 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷onto→(0[,)+∞))
13 forn 6031 . . . . . 6 (𝐹:𝐷onto→(0[,)+∞) → ran 𝐹 = (0[,)+∞))
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ran 𝐹 = (0[,)+∞))
151, 14syl5sseq 3616 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝐴) ⊆ (0[,)+∞))
16 rge0ssre 12151 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
1715, 16syl6ss 3580 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝐴) ⊆ ℝ)
18 imassrn 5396 . . . . 5 (𝐹𝐵) ⊆ ran 𝐹
1918, 14syl5sseq 3616 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝐵) ⊆ (0[,)+∞))
2019, 16syl6ss 3580 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝐵) ⊆ ℝ)
218, 9axcontlem9 25652 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)𝑚𝑛)
22 dedekindle 10080 . . 3 (((𝐹𝐴) ⊆ ℝ ∧ (𝐹𝐵) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)𝑚𝑛) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛))
2317, 20, 21, 22syl3anc 1318 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛))
24 simpr 476 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ)
25 simprl3 1101 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐵 ≠ ∅)
2625ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ ∅)
27 n0 3890 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
2826, 27sylib 207 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑏 𝑏𝐵)
29 0red 9920 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
30 f1of 6050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
3111, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
328axcontlem4 25647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐴𝐷)
3332, 5sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑈𝐷)
3431, 33ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝑈) ∈ (0[,)+∞))
3516, 34sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
3635ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
37 simprl 790 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑘 ∈ ℝ)
38 elrege0 12149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑈) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑈)))
3938simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑈) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑈))
4034, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 0 ≤ (𝐹𝑈))
4140ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → 0 ≤ (𝐹𝑈))
42 f1of1 6049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷1-1→(0[,)+∞))
4311, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐹:𝐷1-1→(0[,)+∞))
44 f1elima 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:𝐷1-1→(0[,)+∞) ∧ 𝑈𝐷𝐴𝐷) → ((𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴) ↔ 𝑈𝐴))
4543, 33, 32, 44syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ((𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴) ↔ 𝑈𝐴))
465, 45mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴))
48 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
4943adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐹:𝐷1-1→(0[,)+∞))
50 simpl1 1057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
51 simpl2 1058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈) → 𝑈𝐴)
52 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈) → 𝑍𝑈)
5350, 51, 523jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈))
548axcontlem3 25646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) → 𝐵𝐷)
5553, 54sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐵𝐷)
5655sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏𝐷)
5755adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐵𝐷)
58 f1elima 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:𝐷1-1→(0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷𝐵𝐷) → ((𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵) ↔ 𝑏𝐵))
5949, 56, 57, 58syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → ((𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵) ↔ 𝑏𝐵))
6048, 59mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵))
6160adantrl 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵))
6247, 61jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵)))
63 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝐹𝑈) → (𝑚𝑘 ↔ (𝐹𝑈) ≤ 𝑘))
6463anbi1d 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝐹𝑈) → ((𝑚𝑘𝑘𝑛) ↔ ((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘𝑛)))
65 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝐹𝑏) → (𝑘𝑛𝑘 ≤ (𝐹𝑏)))
6665anbi2d 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘𝑛) ↔ ((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑏))))
6764, 66rspc2va 3294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) → ((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑏)))
6862, 67sylan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) → ((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑏)))
6968an32s 842 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑏)))
7069simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑈) ≤ 𝑘)
7129, 36, 37, 41, 70letrd 10073 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → 0 ≤ 𝑘)
7271expr 641 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑘))
7372exlimdv 1848 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∃𝑏 𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑘))
7428, 73mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑘)
75 elrege0 12149 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
7624, 74, 75sylanbrc 695 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ (0[,)+∞))
7776ex 449 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) → (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ (0[,)+∞)))
78 ssrab2 3650 . . . . . . . . . 10 {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ⊆ (𝔼‘𝑁)
798, 78eqsstri 3598 . . . . . . . . 9 𝐷 ⊆ (𝔼‘𝑁)
80 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (0[,)+∞))
81 f1ocnvdm 6440 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐷)
8211, 80, 81syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐷)
8379, 82sseldi 3566 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝔼‘𝑁))
842, 3, 63jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)))
8584, 7jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈))
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈))
8732sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑞𝐷)
8887adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → 𝑞𝐷)
8988adantrl 748 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → 𝑞𝐷)
90 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → 𝑘 ∈ (0[,)+∞))
9111, 90, 81syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐷)
9255sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑟𝐵) → 𝑟𝐷)
9392adantrl 748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → 𝑟𝐷)
9493adantrl 748 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → 𝑟𝐷)
9589, 91, 943jca 1235 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑞𝐷 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐷𝑟𝐷))
9686, 95jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑞𝐷 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐷𝑟𝐷)))
97 f1ofun 6052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → Fun 𝐹)
9811, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → Fun 𝐹)
99 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞) → dom 𝐹 = 𝐷)
10011, 30, 993syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → dom 𝐹 = 𝐷)
10132, 100sseqtr4d 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
102 funfvima2 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝑞𝐴 → (𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴)))
10398, 101, 102syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝑞𝐴 → (𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴)))
10455, 100sseqtr4d 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
105 funfvima2 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun 𝐹𝐵 ⊆ dom 𝐹) → (𝑟𝐵 → (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵)))
10698, 104, 105syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝑟𝐵 → (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵)))
107103, 106anim12d 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ((𝑞𝐴𝑟𝐵) → ((𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵))))
108107imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → ((𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵)))
109108adantrl 748 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵)))
110 simprll 798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛))
111 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝐹𝑞) → (𝑚𝑘 ↔ (𝐹𝑞) ≤ 𝑘))
112111anbi1d 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (𝐹𝑞) → ((𝑚𝑘𝑘𝑛) ↔ ((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘𝑛)))
113 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝐹𝑟) → (𝑘𝑛𝑘 ≤ (𝐹𝑟)))
114113anbi2d 736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝐹𝑟) → (((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘𝑛) ↔ ((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑟))))
115112, 114rspc2v 3293 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵)) → (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) → ((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑟))))
116109, 110, 115sylc 63 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑟)))
117 f1ocnvfv2 6433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘(𝐹𝑘)) = 𝑘)
11811, 90, 117syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝐹‘(𝐹𝑘)) = 𝑘)
119118breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝐹𝑞) ≤ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑞) ≤ 𝑘))
120118breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝐹‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐹𝑟) ↔ 𝑘 ≤ (𝐹𝑟)))
121119, 120anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (((𝐹𝑞) ≤ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐹𝑟)) ↔ ((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑟))))
122116, 121mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝐹𝑞) ≤ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐹𝑟)))
1238, 9axcontlem8 25651 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑞𝐷 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐷𝑟𝐷)) → (((𝐹𝑞) ≤ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐹𝑟)) → (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩))
12496, 122, 123sylc 63 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩)
125124anassrs 678 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩)
126125ralrimivva 2954 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → ∀𝑞𝐴𝑟𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩)
127 opeq1 4340 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑥 → ⟨𝑞, 𝑟⟩ = ⟨𝑥, 𝑟⟩)
128127breq2d 4595 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑥 → ((𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩ ↔ (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑟⟩))
129 opeq2 4341 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑦 → ⟨𝑥, 𝑟⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
130129breq2d 4595 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑦 → ((𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑟⟩ ↔ (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
131128, 130cbvral2v 3155 . . . . . . . . 9 (∀𝑞𝐴𝑟𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩ ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
132126, 131sylib 207 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
133 breq1 4586 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝐹𝑘) → (𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
1341332ralbidv 2972 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐹𝑘) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
135134rspcev 3282 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑘) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13683, 132, 135syl2anc 691 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
137136expr 641 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) → (𝑘 ∈ (0[,)+∞) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
13877, 137syld 46 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) → (𝑘 ∈ ℝ → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
139138ex 449 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) → (𝑘 ∈ ℝ → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
140139com23 84 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝑘 ∈ ℝ → (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
141140rexlimdv 3012 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
14223, 141mpd 15 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  {copab 4642  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  [,)cico 12048  ...cfz 12197  𝔼cee 25568   Btwn cbtwn 25569 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-z 11255  df-uz 11564  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-ee 25571  df-btwn 25572 This theorem is referenced by:  axcontlem11  25654
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