Theorem divcld 10680

Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcl 10570	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1318	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   / cdiv 10563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564

This theorem is referenced by:  dmdcan2d  10710  mulsubdivbinom2  12908  hashf1  13098  abs1m  13923  abslem2  13927  sqreulem  13947  sqreu  13948  o1fsum  14386  divrcnv  14423  divcnv  14424  geolim  14440  geolim2  14441  geo2sum  14443  geo2lim  14445  fproddiv  14530  bpolycl  14622  bpolysum  14623  bpolydiflem  14624  bpoly4  14629  eftcl  14643  efaddlem  14662  tancl  14698  tanval2  14702  qredeq  15209  pcaddlem  15430  pjthlem1  23016  iblss  23377  itgeqa  23386  iblconst  23390  iblabsr  23402  iblmulc2  23403  itgsplit  23408  dvlem  23466  dvmulbr  23508  dvcobr  23515  dvrec  23524  dvcnvlem  23543  dveflem  23546  dvsincos  23548  dvlip  23560  c1liplem1  23563  lhop1lem  23580  lhop1  23581  lhop2  23582  lhop  23583  ftc1lem4  23606  vieta1lem2  23870  vieta1  23871  elqaalem3  23880  aareccl  23885  aalioulem1  23891  taylfvallem1  23915  tayl0  23920  taylply2  23926  taylply  23927  dvtaylp  23928  taylthlem2  23932  ulmdvlem1  23958  tanregt0  24089  eff1olem  24098  argregt0  24160  argrege0  24161  argimgt0  24162  logcnlem4  24191  advlogexp  24201  logtaylsum  24207  logtayl2  24208  root1eq1  24296  logbcl  24305  cxplogb  24324  logbf  24327  angcld  24335  angrteqvd  24336  cosangneg2d  24337  angrtmuld  24338  ang180lem1  24339  ang180lem2  24340  ang180lem3  24341  ang180lem4  24342  ang180lem5  24343  lawcoslem1  24345  lawcos  24346  isosctrlem2  24349  isosctrlem3  24350  angpieqvdlem  24355  angpieqvdlem2  24356  angpieqvd  24358  dcubic1lem  24370  dcubic2  24371  dcubic1  24372  dcubic  24373  mcubic  24374  cubic2  24375  dquartlem1  24378  dquartlem2  24379  dquart  24380  quart1cl  24381  quart1lem  24382  quart1  24383  quartlem3  24386  quartlem4  24387  quart  24388  tanatan  24446  atantayl  24464  atantayl2  24465  atantayl3  24466  log2cnv  24471  birthdaylem2  24479  efrlim  24496  dfef2  24497  cxploglim2  24505  fsumharmonic  24538  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  lgamgulmlem4  24558  lgamgulmlem5  24559  lgamgulmlem6  24560  lgamgulm2  24562  lgamcvg2  24581  gamcvg  24582  gamcvg2lem  24585  ftalem4  24602  ftalem5  24603  basellem8  24614  logexprlim  24750  bposlem9  24817  2lgslem3d  24924  2sqlem3  24945  dchrmusum2  24983  dchrvmasum2lem  24985  dchrvmasumiflem1  24990  dchrvmasumiflem2  24991  dchrvmaeq0  24993  dchrisum0re  25002  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem2a  25006  dchrisum0lem2  25007  dchrisum0lem3  25008  dchrisum0  25009  mudivsum  25019  vmalogdivsum2  25027  vmalogdivsum  25028  2vmadivsumlem  25029  selberg2  25040  selberg3lem1  25046  selberg3  25048  selberg4lem1  25049  selbergr  25057  selberg3r  25058  selberg4r  25059  selberg34r  25060  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  colinearalg  25590  axcontlem8  25651  pjhthlem1  27634  eigvalcl  28204  riesz3i  28305  bcm1n  28941  divnumden2  28951  oddpwdc  29743  signsplypnf  29953  signsply0  29954  subfacval2  30423  divcnvlin  30871  bcprod  30877  iprodgam  30881  unbdqndv2lem1  31670  knoppndvlem2  31674  knoppndvlem7  31679  knoppndvlem9  31681  knoppndvlem10  31682  knoppndvlem16  31688  knoppndvlem17  31689  itg2addnclem  32631  iblmulc2nc  32645  ftc1cnnclem  32653  areacirclem1  32670  areacirclem4  32673  areacirc  32675  cntotbnd  32765  pellexlem2  36412  pellexlem6  36416  jm2.19  36578  jm2.27c  36592  proot1ex  36798  cvgdvgrat  37534  radcnvrat  37535  hashnzfzclim  37543  bcccl  37560  bccm1k  37563  binomcxplemrat  37571  binomcxplemfrat  37572  binomcxplemnotnn0  37577  xralrple2  38511  mccllem  38664  clim1fr1  38668  0ellimcdiv  38716  coseq0  38747  dvrecg  38800  dvmptdiv  38807  fperdvper  38808  dvdivbd  38813  dvnmptdivc  38828  dvnxpaek  38832  dvnprodlem2  38837  iblsplit  38858  itgcoscmulx  38861  itgsincmulx  38866  stoweidlem11  38904  stoweidlem26  38919  stoweidlem42  38935  wallispilem4  38961  wallispilem5  38962  wallispi  38963  wallispi2lem1  38964  wallispi2lem2  38965  wallispi2  38966  stirlinglem1  38967  stirlinglem3  38969  stirlinglem4  38970  stirlinglem5  38971  stirlinglem6  38972  stirlinglem7  38973  stirlinglem13  38979  stirlinglem14  38980  stirlinglem15  38981  dirkeritg  38995  dirkercncflem1  38996  dirkercncflem2  38997  fourierdlem26  39026  fourierdlem39  39039  fourierdlem56  39055  fourierdlem62  39061  fourierdlem72  39071  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem76  39075  fourierdlem80  39079  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fouriersw  39124  elaa2lem  39126  etransclem15  39142  etransclem20  39147  etransclem21  39148  etransclem22  39149  etransclem23  39150  etransclem24  39151  etransclem25  39152  etransclem31  39158  etransclem32  39159  etransclem33  39160  etransclem34  39161  etransclem35  39162  etransclem47  39174  etransclem48  39175  hoiqssbllem2  39513  sigardiv  39699  sharhght  39703  fmtnoprmfac2lem1  40016  fdivmptf  42133  cotcl  42292