Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem22 39149
 Description: The 𝑁-th derivative of 𝐻 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem22.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem22.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem22.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem22.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem22.J (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem22.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
etransclem22 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝐽))‘𝑁) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐽,𝑥   𝑗,𝑀,𝑥   𝑥,𝑁   𝑃,𝑗,𝑥   𝑥,𝑆   𝑗,𝑋,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem22
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem22.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 etransclem22.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3 etransclem22.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4 etransclem22.h . . 3 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
5 etransclem22.J . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
6 etransclem22.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
71, 2, 3, 4, 5, 6etransclem17 39144 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝐽))‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))))
8 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁)
98iftrued 4044 . . . . 5 ((𝜑 ∧ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) = 0)
109mpteq2dv 4673 . . . 4 ((𝜑 ∧ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (𝑥𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
111, 2dvdmsscn 38826 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
12 0cnd 9912 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
13 ssid 3587 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
1511, 12, 14constcncfg 38756 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ 0) ∈ (𝑋cn→ℂ))
1615adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (𝑥𝑋 ↦ 0) ∈ (𝑋cn→ℂ))
1710, 16eqeltrd 2688 . . 3 ((𝜑 ∧ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (𝑥𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))) ∈ (𝑋cn→ℂ))
18 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁)
1918iffalsed 4047 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) = (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))
2019mpteq2dv 4673 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (𝑥𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))) = (𝑥𝑋 ↦ (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))))
21 nfv 1830 . . . . 5 𝑥(𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁)
2211, 14idcncfg 38757 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑋𝑥) ∈ (𝑋cn→ℂ))
235elfzelzd 38471 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2423zcnd 11359 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
2511, 24, 14constcncfg 38756 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐽) ∈ (𝑋cn→ℂ))
2622, 25subcncf 38754 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐽)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
2726adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐽)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
2813a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → ℂ ⊆ ℂ)
29 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
303, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
313nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
3230, 31ifcld 4081 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
3332faccld 12933 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℕ)
3433nncnd 10913 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
3534adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
3632nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℤ)
376nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3836, 37zsubcld 11363 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℤ)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℤ)
406nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
4232nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℝ)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℝ)
4441, 43, 18nltled 10066 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → 𝑁 ≤ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))
4543, 41subge0d 10496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (0 ≤ (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
4644, 45mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → 0 ≤ (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))
47 elnn0z 11267 . . . . . . . . . . 11 ((if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))
4839, 46, 47sylanbrc 695 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℕ0)
4948faccld 12933 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) ∈ ℕ)
5049nncnd 10913 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) ∈ ℂ)
5149nnne0d 10942 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) ≠ 0)
5235, 50, 51divcld 10680 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → ((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) ∈ ℂ)
5328, 52, 28constcncfg 38756 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
54 expcncf 22533 . . . . . . 7 ((if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5548, 54syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5653, 55mulcncf 23023 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · (𝑦↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
57 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥𝐽) → (𝑦↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)) = ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))
5857oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥𝐽) → (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · (𝑦↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) = (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))
5921, 27, 56, 28, 58cncfcompt2 38785 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (𝑥𝑋 ↦ (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁)))) ∈ (𝑋cn→ℂ))
6020, 59eqeltrd 2688 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁) → (𝑥𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))) ∈ (𝑋cn→ℂ))
6117, 60pm2.61dan 828 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ if(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < 𝑁, 0, (((!‘if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))) · ((𝑥𝐽)↑(if(𝐽 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − 𝑁))))) ∈ (𝑋cn→ℂ))
627, 61eqeltrd 2688 1 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝐽))‘𝑁) ∈ (𝑋cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  !cfa 12922   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567  –cn→ccncf 22487   D𝑛 cdvn 23434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-dvn 23438 This theorem is referenced by:  etransclem34  39161
 Copyright terms: Public domain W3C validator