cubic2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cubic2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem cubic2 24375

Description: The solution to the general cubic equation, for arbitrary choices 𝐺 and 𝑇 of the square and cube roots. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cubic2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cubic2.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cubic2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cubic2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
cubic2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
cubic2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
cubic2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
cubic2.3	⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = ((𝑁 + 𝐺) / 2))
cubic2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
cubic2.2	⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))))
cubic2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))))
cubic2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))))
cubic2.0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)

**Assertion**
Ref	Expression
cubic2	⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑟 𝐵,𝑟 𝑀,𝑟 𝑁,𝑟 𝜑,𝑟 𝑇,𝑟 𝑋,𝑟 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑟) 𝐷(𝑟) 𝐺(𝑟)

**Proof of Theorem cubic2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		cubic2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cubic2.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3		3nn0 11187	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
4		expcl 12740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
6	1, 5	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋↑3)) ∈ ℂ)
7		cubic2.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	2	sqcld 12868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
9	7, 8	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
10	6, 9	addcld 9938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
11		cubic2.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11, 2	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℂ)
13		cubic2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
14	12, 13	addcld 9938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) ∈ ℂ)
15	10, 14	addcld 9938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) ∈ ℂ)
16		cubic2.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
17	15, 1, 16	diveq0ad 10690	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) / 𝐴) = 0 ↔ (((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0))
18	10, 14, 1, 16	divdird 10718	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) / 𝐴) = ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) / 𝐴) + (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) / 𝐴)))
19	6, 9, 1, 16	divdird 10718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) / 𝐴) = (((𝐴 · (𝑋↑3)) / 𝐴) + ((𝐵 · (𝑋↑2)) / 𝐴)))
20	5, 1, 16	divcan3d 10685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋↑3)) / 𝐴) = (𝑋↑3))
21	7, 8, 1, 16	div23d 10717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝑋↑2)) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2)))
22	20, 21	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑3)) / 𝐴) + ((𝐵 · (𝑋↑2)) / 𝐴)) = ((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))))
23	19, 22	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) / 𝐴) = ((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))))
24	12, 13, 1, 16	divdird 10718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) / 𝐴) = (((𝐶 · 𝑋) / 𝐴) + (𝐷 / 𝐴)))
25	11, 2, 1, 16	div23d 10717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) / 𝐴) = ((𝐶 / 𝐴) · 𝑋))
26	25	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝑋) / 𝐴) + (𝐷 / 𝐴)) = (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴)))
27	24, 26	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) / 𝐴) = (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴)))
28	23, 27	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) / 𝐴) + (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) / 𝐴)) = (((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴))))
29	18, 28	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) / 𝐴) = (((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴))))
30	29	eqeq1d 2612	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) / 𝐴) = 0 ↔ (((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴))) = 0))
31	17, 30	bitr3d 269	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ (((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴))) = 0))
32	7, 1, 16	divcld 10680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
33	11, 1, 16	divcld 10680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
34	13, 1, 16	divcld 10680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 𝐴) ∈ ℂ)
35		cubic2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
36	35, 1, 16	divcld 10680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝐴) ∈ ℂ)
37	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
38	35, 1, 16, 37	expdivd 12884	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 / 𝐴)↑3) = ((𝑇↑3) / (𝐴↑3)))
39		cubic2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = ((𝑁 + 𝐺) / 2))
40	39	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3) / (𝐴↑3)) = (((𝑁 + 𝐺) / 2) / (𝐴↑3)))
41		cubic2.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))))
42		2cn 10968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
43		expcl 12740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
44	7, 3, 43	sylancl 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
45		mulcl 9899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐵↑3) ∈ ℂ) → (2 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
46	42, 44, 45	sylancr 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
47		9cn 10985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℂ
48		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (9 · 𝐴) ∈ ℂ)
49	47, 1, 48	sylancr 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (9 · 𝐴) ∈ ℂ)
50	7, 11	mulcld 9939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
51	49, 50	mulcld 9939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
52	46, 51	subcld 10271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
53		2nn0 11186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
54		7nn 11067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ ℕ
55	53, 54	decnncl 11394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;27 ∈ ℕ
56	55	nncni 10907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;27 ∈ ℂ
57	1	sqcld 12868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
58	57, 13	mulcld 9939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐷) ∈ ℂ)
59		mulcl 9899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;27 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · 𝐷) ∈ ℂ) → (;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) ∈ ℂ)
60	56, 58, 59	sylancr 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) ∈ ℂ)
61	52, 60	addcld 9938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))) ∈ ℂ)
62	41, 61	eqeltrd 2688	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
63		cubic2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
64	62, 63	addcld 9938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐺) ∈ ℂ)
65		2cnd 10970	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
66		expcl 12740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
67	1, 3, 66	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
68		2ne0 10990	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
70		3z 11287	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
71	70	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
72	1, 16, 71	expne0d 12876	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) ≠ 0)
73	64, 65, 67, 69, 72	divdiv32d 10705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 𝐺) / 2) / (𝐴↑3)) = (((𝑁 + 𝐺) / (𝐴↑3)) / 2))
74	62, 63, 67, 72	divdird 10718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝐺) / (𝐴↑3)) = ((𝑁 / (𝐴↑3)) + (𝐺 / (𝐴↑3))))
75	74	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 𝐺) / (𝐴↑3)) / 2) = (((𝑁 / (𝐴↑3)) + (𝐺 / (𝐴↑3))) / 2))
76	73, 75	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 𝐺) / 2) / (𝐴↑3)) = (((𝑁 / (𝐴↑3)) + (𝐺 / (𝐴↑3))) / 2))
77	38, 40, 76	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 / 𝐴)↑3) = (((𝑁 / (𝐴↑3)) + (𝐺 / (𝐴↑3))) / 2))
78	63, 67, 72	divcld 10680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 / (𝐴↑3)) ∈ ℂ)
79	63, 67, 72	sqdivd 12883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 / (𝐴↑3))↑2) = ((𝐺↑2) / ((𝐴↑3)↑2)))
80		cubic2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))))
81	80	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) / ((𝐴↑3)↑2)) = (((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))) / ((𝐴↑3)↑2)))
82	62	sqcld 12868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
83		4cn 10975	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
84		cubic2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))))
85	7	sqcld 12868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
86		3cn 10972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
87	1, 11	mulcld 9939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
88		mulcl 9899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
89	86, 87, 88	sylancr 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
90	85, 89	subcld 10271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
91	84, 90	eqeltrd 2688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
92		expcl 12740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
93	91, 3, 92	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
94		mulcl 9899	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → (4 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
95	83, 93, 94	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
96	67	sqcld 12868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑3)↑2) ∈ ℂ)
97		sqne0 12792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℂ → (((𝐴↑3)↑2) ≠ 0 ↔ (𝐴↑3) ≠ 0))
98	67, 97	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑3)↑2) ≠ 0 ↔ (𝐴↑3) ≠ 0))
99	72, 98	mpbird 246	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑3)↑2) ≠ 0)
100	82, 95, 96, 99	divsubdird 10719	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))) / ((𝐴↑3)↑2)) = (((𝑁↑2) / ((𝐴↑3)↑2)) − ((4 · (𝑀↑3)) / ((𝐴↑3)↑2))))
101	62, 67, 72	sqdivd 12883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / (𝐴↑3))↑2) = ((𝑁↑2) / ((𝐴↑3)↑2)))
102		2z 11286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
104	1, 16, 103	expne0d 12876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ≠ 0)
105	91, 57, 104, 37	expdivd 12884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3) = ((𝑀↑3) / ((𝐴↑2)↑3)))
106	42, 86	mulcomi 9925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
107	106	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴↑(2 · 3)) = (𝐴↑(3 · 2))
108	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ₀)
109	1, 37, 108	expmuld 12873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(2 · 3)) = ((𝐴↑2)↑3))
110	1, 108, 37	expmuld 12873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(3 · 2)) = ((𝐴↑3)↑2))
111	107, 109, 110	3eqtr3a 2668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2)↑3) = ((𝐴↑3)↑2))
112	111	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑3) / ((𝐴↑2)↑3)) = ((𝑀↑3) / ((𝐴↑3)↑2)))
113	105, 112	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3) = ((𝑀↑3) / ((𝐴↑3)↑2)))
114	113	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3)) = (4 · ((𝑀↑3) / ((𝐴↑3)↑2))))
115	83	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
116	115, 93, 96, 99	divassd 10715	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑀↑3)) / ((𝐴↑3)↑2)) = (4 · ((𝑀↑3) / ((𝐴↑3)↑2))))
117	114, 116	eqtr4d 2647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3)) = ((4 · (𝑀↑3)) / ((𝐴↑3)↑2)))
118	101, 117	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 / (𝐴↑3))↑2) − (4 · ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3))) = (((𝑁↑2) / ((𝐴↑3)↑2)) − ((4 · (𝑀↑3)) / ((𝐴↑3)↑2))))
119	100, 118	eqtr4d 2647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))) / ((𝐴↑3)↑2)) = (((𝑁 / (𝐴↑3))↑2) − (4 · ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3))))
120	79, 81, 119	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 / (𝐴↑3))↑2) = (((𝑁 / (𝐴↑3))↑2) − (4 · ((𝑀 / (𝐴↑2))↑3))))
121	85, 89, 57, 104	divsubdird 10719	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))) / (𝐴↑2)) = (((𝐵↑2) / (𝐴↑2)) − ((3 · (𝐴 · 𝐶)) / (𝐴↑2))))
122	84	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / (𝐴↑2)) = (((𝐵↑2) − (3 · (𝐴 · 𝐶))) / (𝐴↑2)))
123	7, 1, 16	sqdivd 12883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴)↑2) = ((𝐵↑2) / (𝐴↑2)))
124	1	sqvald 12867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
125	124	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴↑2)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴 · 𝐴)))
126	11, 1, 1, 16, 16	divcan5d 10706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴 · 𝐴)) = (𝐶 / 𝐴))
127	125, 126	eqtr2d 2645	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐴) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴↑2)))
128	127	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝐶 / 𝐴)) = (3 · ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴↑2))))
129	86	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
130	129, 87, 57, 104	divassd 10715	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝐴 · 𝐶)) / (𝐴↑2)) = (3 · ((𝐴 · 𝐶) / (𝐴↑2))))
131	128, 130	eqtr4d 2647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝐶 / 𝐴)) = ((3 · (𝐴 · 𝐶)) / (𝐴↑2)))
132	123, 131	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 / 𝐴)↑2) − (3 · (𝐶 / 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (𝐴↑2)) − ((3 · (𝐴 · 𝐶)) / (𝐴↑2))))
133	121, 122, 132	3eqtr4d 2654	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / (𝐴↑2)) = (((𝐵 / 𝐴)↑2) − (3 · (𝐶 / 𝐴))))
134	52, 60, 67, 72	divdird 10718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))) / (𝐴↑3)) = ((((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)) + ((;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝐴↑3))))
135	41	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / (𝐴↑3)) = ((((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) + (;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷))) / (𝐴↑3)))
136	7, 1, 16, 37	expdivd 12884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴)↑3) = ((𝐵↑3) / (𝐴↑3)))
137	136	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) = (2 · ((𝐵↑3) / (𝐴↑3))))
138	65, 44, 67, 72	divassd 10715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑3)) / (𝐴↑3)) = (2 · ((𝐵↑3) / (𝐴↑3))))
139	137, 138	eqtr4d 2647	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) = ((2 · (𝐵↑3)) / (𝐴↑3)))
140	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℂ)
141	1, 50	mulcld 9939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
142	140, 141, 67, 72	divassd 10715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((9 · (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)) = (9 · ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3))))
143	140, 1, 50	mulassd 9942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) = (9 · (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))))
144	143	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3)) = ((9 · (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)))
145	50, 57, 1, 104, 16	divcan5d 10706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴 · (𝐴↑2))) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐴↑2)))
146		df-3 10957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
147	146	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴↑3) = (𝐴↑(2 + 1))
148		expp1 12729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
149	1, 53, 148	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
150	147, 149	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
151	57, 1	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴↑2)))
152	150, 151	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) = (𝐴 · (𝐴↑2)))
153	152	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3)) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴 · (𝐴↑2))))
154	7, 1, 11, 1, 16, 16	divmuldivd 10721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐴 · 𝐴)))
155	124	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐴↑2)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐴 · 𝐴)))
156	154, 155	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐴↑2)))
157	145, 153, 156	3eqtr4rd 2655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3)))
158	157	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴))) = (9 · ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3))))
159	142, 144, 158	3eqtr4rd 2655	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴))) = (((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3)))
160	139, 159	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) − (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)))) = (((2 · (𝐵↑3)) / (𝐴↑3)) − (((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3))))
161	46, 51, 67, 72	divsubdird 10719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)) = (((2 · (𝐵↑3)) / (𝐴↑3)) − (((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶)) / (𝐴↑3))))
162	160, 161	eqtr4d 2647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) − (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)))) = (((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)))
163	150	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐷) / (𝐴↑3)) = (((𝐴↑2) · 𝐷) / ((𝐴↑2) · 𝐴)))
164	13, 1, 57, 16, 104	divcan5d 10706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐷) / ((𝐴↑2) · 𝐴)) = (𝐷 / 𝐴))
165	163, 164	eqtr2d 2645	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 𝐴) = (((𝐴↑2) · 𝐷) / (𝐴↑3)))
166	165	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;27 · (𝐷 / 𝐴)) = (;27 · (((𝐴↑2) · 𝐷) / (𝐴↑3))))
167	56	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ;27 ∈ ℂ)
168	167, 58, 67, 72	divassd 10715	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝐴↑3)) = (;27 · (((𝐴↑2) · 𝐷) / (𝐴↑3))))
169	166, 168	eqtr4d 2647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (;27 · (𝐷 / 𝐴)) = ((;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝐴↑3)))
170	162, 169	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) − (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)))) + (;27 · (𝐷 / 𝐴))) = ((((2 · (𝐵↑3)) − ((9 · 𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) / (𝐴↑3)) + ((;27 · ((𝐴↑2) · 𝐷)) / (𝐴↑3))))
171	134, 135, 170	3eqtr4d 2654	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / (𝐴↑3)) = (((2 · ((𝐵 / 𝐴)↑3)) − (9 · ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐴)))) + (;27 · (𝐷 / 𝐴))))
172		cubic2.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
173	35, 1, 172, 16	divne0d 10696	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝐴) ≠ 0)
174	32, 33, 34, 2, 36, 77, 78, 120, 133, 171, 173	mcubic 24374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑3) + ((𝐵 / 𝐴) · (𝑋↑2))) + (((𝐶 / 𝐴) · 𝑋) + (𝐷 / 𝐴))) = 0 ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3))))
175		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 0 → (𝑟↑3) = (0↑3))
176		3nn 11063	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
177		0exp 12757	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
178	176, 177	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑3) = 0
179	175, 178	syl6eq 2660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 0 → (𝑟↑3) = 0)
180		0ne1 10965	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
181	180	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 0 → 0 ≠ 1)
182	179, 181	eqnetrd 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 0 → (𝑟↑3) ≠ 1)
183	182	necon2i 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝑟↑3) = 1 → 𝑟 ≠ 0)
184		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑟 ∈ ℂ)
185	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℂ)
186	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
187	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ 0)
188	184, 185, 186, 187	divassd 10715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴) = (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))
189	188	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)) = ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴))
190	189	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) = ((𝐵 / 𝐴) + ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴)))
191	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
192	184, 185	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑟 · 𝑇) ∈ ℂ)
193	191, 192, 186, 187	divdird 10718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) + ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴)))
194	190, 193	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) = ((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴))
195	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
196	195, 186, 187	divcld 10680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑀 / 𝐴) ∈ ℂ)
197		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑟 ≠ 0)
198	172	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑇 ≠ 0)
199	184, 185, 197, 198	mulne0d 10558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑟 · 𝑇) ≠ 0)
200	196, 192, 186, 199, 187	divcan7d 10708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝑀 / 𝐴) / 𝐴) / ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴)) = ((𝑀 / 𝐴) / (𝑟 · 𝑇)))
201	195, 186, 186, 187, 187	divdiv1d 10711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / 𝐴) / 𝐴) = (𝑀 / (𝐴 · 𝐴)))
202	186	sqvald 12867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
203	202	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑀 / (𝐴↑2)) = (𝑀 / (𝐴 · 𝐴)))
204	201, 203	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / 𝐴) / 𝐴) = (𝑀 / (𝐴↑2)))
205	204, 188	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝑀 / 𝐴) / 𝐴) / ((𝑟 · 𝑇) / 𝐴)) = ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))))
206	195, 186, 192, 187, 199	divdiv32d 10705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / 𝐴) / (𝑟 · 𝑇)) = ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴))
207	200, 205, 206	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) = ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴))
208	194, 207	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴) + ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴)))
209	191, 192	addcld 9938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) ∈ ℂ)
210	195, 192, 199	divcld 10680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) ∈ ℂ)
211	209, 210, 186, 187	divdird 10718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 𝐴) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴) + ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 𝐴)))
212	208, 211	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 𝐴))
213	212	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) = ((((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 𝐴) / 3))
214	209, 210	addcld 9938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) ∈ ℂ)
215	86	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 3 ∈ ℂ)
216		3ne0 10992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
217	216	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 3 ≠ 0)
218	214, 186, 215, 187, 217	divdiv1d 10711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 𝐴) / 3) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (𝐴 · 3)))
219		mulcom 9901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (𝐴 · 3) = (3 · 𝐴))
220	186, 86, 219	sylancl 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝐴 · 3) = (3 · 𝐴))
221	220	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (𝐴 · 3)) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))
222	213, 218, 221	3eqtrd 2648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) = (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))
223	222	negeqd 10154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))
224	223	eqeq2d 2620	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) ↔ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
225	224	anassrs 678	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) ∧ 𝑟 ≠ 0) → (𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) ↔ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
226	183, 225	sylan2 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) ∧ (𝑟↑3) = 1) → (𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3) ↔ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴))))
227	226	pm5.32da 671	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3)) ↔ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))
228	227	rexbidva 3031	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -((((𝐵 / 𝐴) + (𝑟 · (𝑇 / 𝐴))) + ((𝑀 / (𝐴↑2)) / (𝑟 · (𝑇 / 𝐴)))) / 3)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))
229	31, 174, 228	3bitrd 293	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · (𝑋↑3)) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / (3 · 𝐴)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∃wrex 2897 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 − cmin 10145 -cneg 10146 / cdiv 10563 ℕcn 10897 2c2 10947 3c3 10948 4c4 10949 7c7 10952 9c9 10954 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 cdc 11369 ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-sup 8231 df-inf 8232 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-5 10959 df-6 10960 df-7 10961 df-8 10962 df-9 10963 df-n0 11170 df-z 11255 df-dec 11370 df-uz 11564 df-rp 11709 df-fz 12198 df-seq 12664 df-exp 12723 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-dvds 14822

This theorem is referenced by: cubic 24376

W3C validator