MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cubic2 Structured version   Unicode version

Theorem cubic2 22128
Description: The solution to the general cubic equation, for arbitrary choices  G and  T of the square and cube roots. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cubic2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
cubic2.z  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
cubic2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
cubic2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
cubic2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
cubic2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
cubic2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
cubic2.3  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( ( N  +  G )  /  2 ) )
cubic2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
cubic2.2  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) ) )
cubic2.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  ( A  x.  C
) ) ) )
cubic2.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) ) ) )
cubic2.0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
cubic2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  -u (
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( 3  x.  A ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, r    B, r    M, r    N, r    ph, r    T, r    X, r
Allowed substitution hints:    C( r)    D( r)    G( r)

Proof of Theorem cubic2
StepHypRef Expression
1 cubic2.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 cubic2.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
3 3nn0 10585 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN0
4 expcl 11867 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 3 )  e.  CC )
52, 3, 4sylancl 655 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  e.  CC )
61, 5mulcld 9394 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  e.  CC )
7 cubic2.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
82sqcld 11990 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
97, 8mulcld 9394 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
106, 9addcld 9393 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  e.  CC )
11 cubic2.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1211, 2mulcld 9394 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  e.  CC )
13 cubic2.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
1412, 13addcld 9393 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  +  D
)  e.  CC )
1510, 14addcld 9393 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) )  e.  CC )
16 cubic2.z . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
1715, 1, 16diveq0ad 10105 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  /  A )  =  0  <->  ( (
( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0 ) )
1810, 14, 1, 16divdird 10133 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  /  A )  =  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  /  A
)  +  ( ( ( C  x.  X
)  +  D )  /  A ) ) )
196, 9, 1, 16divdird 10133 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  /  A )  =  ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  /  A )  +  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  /  A ) ) )
205, 1, 16divcan3d 10100 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  /  A )  =  ( X ^
3 ) )
217, 8, 1, 16div23d 10132 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  /  A )  =  ( ( B  /  A )  x.  ( X ^ 2 ) ) )
2220, 21oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
3 ) )  /  A )  +  ( ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  /  A ) )  =  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( B  /  A )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
2319, 22eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  /  A )  =  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( B  /  A )  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
2412, 13, 1, 16divdird 10133 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  X )  +  D )  /  A
)  =  ( ( ( C  x.  X
)  /  A )  +  ( D  /  A ) ) )
2511, 2, 1, 16div23d 10132 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  /  A
)  =  ( ( C  /  A )  x.  X ) )
2625oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  X )  /  A )  +  ( D  /  A ) )  =  ( ( ( C  /  A
)  x.  X )  +  ( D  /  A ) ) )
2724, 26eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  X )  +  D )  /  A
)  =  ( ( ( C  /  A
)  x.  X )  +  ( D  /  A ) ) )
2823, 27oveq12d 6098 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  /  A
)  +  ( ( ( C  x.  X
)  +  D )  /  A ) )  =  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( B  /  A )  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C  /  A )  x.  X )  +  ( D  /  A ) ) ) )
2918, 28eqtrd 2465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  /  A )  =  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( B  /  A )  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C  /  A )  x.  X )  +  ( D  /  A ) ) ) )
3029eqeq1d 2441 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  /  A )  =  0  <->  ( (
( X ^ 3 )  +  ( ( B  /  A )  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( ( C  /  A )  x.  X )  +  ( D  /  A
) ) )  =  0 ) )
3117, 30bitr3d 255 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  (
( ( X ^
3 )  +  ( ( B  /  A
)  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C  /  A
)  x.  X )  +  ( D  /  A ) ) )  =  0 ) )
327, 1, 16divcld 10095 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  /  A
)  e.  CC )
3311, 1, 16divcld 10095 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  /  A
)  e.  CC )
3413, 1, 16divcld 10095 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  /  A
)  e.  CC )
35 cubic2.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
3635, 1, 16divcld 10095 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  /  A
)  e.  CC )
373a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  e.  NN0 )
3835, 1, 16, 37expdivd 12006 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  /  A ) ^ 3 )  =  ( ( T ^ 3 )  /  ( A ^
3 ) ) )
39 cubic2.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( ( N  +  G )  /  2 ) )
4039oveq1d 6095 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T ^
3 )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( N  +  G )  /  2 )  / 
( A ^ 3 ) ) )
41 cubic2.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) ) ) )
42 2cn 10380 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
43 expcl 11867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 3 )  e.  CC )
447, 3, 43sylancl 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B ^ 3 )  e.  CC )
45 mulcl 9354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( B ^ 3 )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
4642, 44, 45sylancr 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
47 9cn 10397 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  CC
48 mulcl 9354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 9  x.  A
)  e.  CC )
4947, 1, 48sylancr 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 9  x.  A
)  e.  CC )
507, 11mulcld 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  e.  CC )
5149, 50mulcld 9394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C )
)  e.  CC )
5246, 51subcld 9707 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  (
( 9  x.  A
)  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
53 2nn0 10584 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
54 7nn 10472 . . . . . . . . . . . 12  |-  7  e.  NN
5553, 54decnncl 10756 . . . . . . . . . . 11  |- ; 2 7  e.  NN
5655nncni 10320 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 7  e.  CC
571sqcld 11990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
5857, 13mulcld 9394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  D
)  e.  CC )
59 mulcl 9354 . . . . . . . . . 10  |-  ( (; 2
7  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  x.  D
)  e.  CC )  ->  (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) )  e.  CC )
6056, 58, 59sylancr 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) )  e.  CC )
6152, 60addcld 9393 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C )
) )  +  (; 2
7  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  D ) ) )  e.  CC )
6241, 61eqeltrd 2507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
63 cubic2.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
6462, 63addcld 9393 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  +  G
)  e.  CC )
65 2cnd 10382 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
66 expcl 11867 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
671, 3, 66sylancl 655 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
68 2ne0 10402 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
6968a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
70 3z 10667 . . . . . . . 8  |-  3  e.  ZZ
7170a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  e.  ZZ )
721, 16, 71expne0d 11998 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  =/=  0 )
7364, 65, 67, 69, 72divdiv32d 10120 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  G )  / 
2 )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( N  +  G )  /  ( A ^
3 ) )  / 
2 ) )
7462, 63, 67, 72divdird 10133 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  G )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( N  /  ( A ^
3 ) )  +  ( G  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
7574oveq1d 6095 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  G )  / 
( A ^ 3 ) )  /  2
)  =  ( ( ( N  /  ( A ^ 3 ) )  +  ( G  / 
( A ^ 3 ) ) )  / 
2 ) )
7673, 75eqtrd 2465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  G )  / 
2 )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( N  /  ( A ^ 3 ) )  +  ( G  / 
( A ^ 3 ) ) )  / 
2 ) )
7738, 40, 763eqtrd 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( T  /  A ) ^ 3 )  =  ( ( ( N  /  ( A ^ 3 ) )  +  ( G  / 
( A ^ 3 ) ) )  / 
2 ) )
7863, 67, 72divcld 10095 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  /  ( A ^ 3 ) )  e.  CC )
7963, 67, 72sqdivd 12005 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  / 
( A ^ 3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( G ^ 2 )  /  ( ( A ^ 3 ) ^
2 ) ) )
80 cubic2.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) ) )
8180oveq1d 6095 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  /  (
( A ^ 3 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^
3 ) ) )  /  ( ( A ^ 3 ) ^
2 ) ) )
8262sqcld 11990 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
83 4cn 10387 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
84 cubic2.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  ( A  x.  C
) ) ) )
857sqcld 11990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
86 3cn 10384 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  CC
871, 11mulcld 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
88 mulcl 9354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( A  x.  C
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  C
) )  e.  CC )
8986, 87, 88sylancr 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
9085, 89subcld 9707 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
3  x.  ( A  x.  C ) ) )  e.  CC )
9184, 90eqeltrd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
92 expcl 11867 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( M ^ 3 )  e.  CC )
9391, 3, 92sylancl 655 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M ^ 3 )  e.  CC )
94 mulcl 9354 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( M ^ 3 )  e.  CC )  -> 
( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  e.  CC )
9583, 93, 94sylancr 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  e.  CC )
9667sqcld 11990 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 ) ^ 2 )  e.  CC )
97 sqne0 11916 . . . . . . . 8  |-  ( ( A ^ 3 )  e.  CC  ->  (
( ( A ^
3 ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( A ^ 3 )  =/=  0 ) )
9867, 97syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 ) ^
2 )  =/=  0  <->  ( A ^ 3 )  =/=  0 ) )
9972, 98mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 ) ^ 2 )  =/=  0 )
10082, 95, 96, 99divsubdird 10134 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) )  /  ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N ^ 2 )  /  ( ( A ^ 3 ) ^
2 ) )  -  ( ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (
( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) ) )
10162, 67, 72sqdivd 12005 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  / 
( A ^ 3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  /  ( ( A ^ 3 ) ^
2 ) ) )
102 2z 10666 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
103102a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
1041, 16, 103expne0d 11998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  =/=  0 )
10591, 57, 104, 37expdivd 12006 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) ) ^ 3 )  =  ( ( M ^ 3 )  /  ( ( A ^ 2 ) ^
3 ) ) )
10642, 86mulcomi 9380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 3  x.  2 )
107106oveq2i 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( A ^ (
3  x.  2 ) )
10853a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
1091, 37, 108expmuld 11995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  x.  3 ) )  =  ( ( A ^ 2 ) ^ 3 ) )
1101, 108, 37expmuld 11995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
3  x.  2 ) )  =  ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) )
111107, 109, 1103eqtr3a 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 ) ^ 3 )  =  ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) )
112111oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
3 )  /  (
( A ^ 2 ) ^ 3 ) )  =  ( ( M ^ 3 )  /  ( ( A ^ 3 ) ^
2 ) ) )
113105, 112eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) ) ^ 3 )  =  ( ( M ^ 3 )  /  ( ( A ^ 3 ) ^
2 ) ) )
114113oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( M  /  ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) )  =  ( 4  x.  ( ( M ^
3 )  /  (
( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) ) )
11583a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
116115, 93, 96, 99divassd 10130 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (
( A ^ 3 ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( M ^ 3 )  / 
( ( A ^
3 ) ^ 2 ) ) ) )
117114, 116eqtr4d 2468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( M  /  ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) )  =  ( ( 4  x.  ( M ^
3 ) )  / 
( ( A ^
3 ) ^ 2 ) ) )
118101, 117oveq12d 6098 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  /  ( A ^
3 ) ) ^
2 )  -  (
4  x.  ( ( M  /  ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( ( N ^ 2 )  /  ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) )  -  ( ( 4  x.  ( M ^
3 ) )  / 
( ( A ^
3 ) ^ 2 ) ) ) )
119100, 118eqtr4d 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) )  /  ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N  /  ( A ^ 3 ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  (
( M  /  ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) ) ) )
12079, 81, 1193eqtrd 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  / 
( A ^ 3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( N  /  ( A ^ 3 ) ) ^ 2 )  -  ( 4  x.  (
( M  /  ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) ) ) )
12185, 89, 57, 104divsubdird 10134 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  ( A  x.  C )
) )  /  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  /  ( A ^
2 ) )  -  ( ( 3  x.  ( A  x.  C
) )  /  ( A ^ 2 ) ) ) )
12284oveq1d 6095 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  /  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  ( A  x.  C
) ) )  / 
( A ^ 2 ) ) )
1237, 1, 16sqdivd 12005 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A ) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  /  ( A ^
2 ) ) )
1241sqvald 11989 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
125124oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  /  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  C )  / 
( A  x.  A
) ) )
12611, 1, 1, 16, 16divcan5d 10121 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  /  ( A  x.  A )
)  =  ( C  /  A ) )
127125, 126eqtr2d 2466 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  A
)  =  ( ( A  x.  C )  /  ( A ^
2 ) ) )
128127oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( C  /  A ) )  =  ( 3  x.  ( ( A  x.  C )  /  ( A ^ 2 ) ) ) )
12986a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
130129, 87, 57, 104divassd 10130 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  C
) )  /  ( A ^ 2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( A  x.  C )  /  ( A ^ 2 ) ) ) )
131128, 130eqtr4d 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( C  /  A ) )  =  ( ( 3  x.  ( A  x.  C ) )  / 
( A ^ 2 ) ) )
132123, 131oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  /  A ) ^
2 )  -  (
3  x.  ( C  /  A ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  /  ( A ^ 2 ) )  -  ( ( 3  x.  ( A  x.  C ) )  / 
( A ^ 2 ) ) ) )
133121, 122, 1323eqtr4d 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  /  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( ( B  /  A ) ^ 2 )  -  ( 3  x.  ( C  /  A ) ) ) )
13452, 60, 67, 72divdird 10133 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) ) )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) ) )  / 
( A ^ 3 ) )  +  ( (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) )  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
13541oveq1d 6095 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) ) )  /  ( A ^ 3 ) ) )
1367, 1, 16, 37expdivd 12006 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A ) ^ 3 )  =  ( ( B ^ 3 )  /  ( A ^
3 ) ) )
137136oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( B  /  A
) ^ 3 ) )  =  ( 2  x.  ( ( B ^ 3 )  / 
( A ^ 3 ) ) ) )
13865, 44, 67, 72divassd 10130 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( 2  x.  ( ( B ^
3 )  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
139137, 138eqtr4d 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( B  /  A
) ^ 3 ) )  =  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  /  ( A ^
3 ) ) )
14047a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  9  e.  CC )
1411, 50mulcld 9394 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( B  x.  C )
)  e.  CC )
142140, 141, 67, 72divassd 10130 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 9  x.  ( A  x.  ( B  x.  C )
) )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( 9  x.  ( ( A  x.  ( B  x.  C
) )  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
143140, 1, 50mulassd 9397 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C )
)  =  ( 9  x.  ( A  x.  ( B  x.  C
) ) ) )
144143oveq1d 6095 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( 9  x.  ( A  x.  ( B  x.  C
) ) )  / 
( A ^ 3 ) ) )
14550, 57, 1, 104, 16divcan5d 10121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( B  x.  C
) )  /  ( A  x.  ( A ^ 2 ) ) )  =  ( ( B  x.  C )  /  ( A ^
2 ) ) )
146 df-3 10369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  =  ( 2  +  1 )
147146oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A ^ 3 )  =  ( A ^ (
2  +  1 ) )
148 expp1 11856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
1491, 53, 148sylancl 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
150147, 149syl5eq 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
15157, 1mulcomd 9395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( A ^
2 ) ) )
152150, 151eqtrd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  =  ( A  x.  ( A ^
2 ) ) )
153152oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( B  x.  C
) )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( A  x.  ( B  x.  C ) )  / 
( A  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
1547, 1, 11, 1, 16, 16divmuldivd 10136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  x.  ( C  /  A ) )  =  ( ( B  x.  C )  / 
( A  x.  A
) ) )
155124oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  /  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( B  x.  C )  / 
( A  x.  A
) ) )
156154, 155eqtr4d 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  x.  ( C  /  A ) )  =  ( ( B  x.  C )  / 
( A ^ 2 ) ) )
157145, 153, 1563eqtr4rd 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  A )  x.  ( C  /  A ) )  =  ( ( A  x.  ( B  x.  C ) )  / 
( A ^ 3 ) ) )
158157oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 9  x.  (
( B  /  A
)  x.  ( C  /  A ) ) )  =  ( 9  x.  ( ( A  x.  ( B  x.  C ) )  / 
( A ^ 3 ) ) ) )
159142, 144, 1583eqtr4rd 2476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 9  x.  (
( B  /  A
)  x.  ( C  /  A ) ) )  =  ( ( ( 9  x.  A
)  x.  ( B  x.  C ) )  /  ( A ^
3 ) ) )
160139, 159oveq12d 6098 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( B  /  A ) ^ 3 ) )  -  (
9  x.  ( ( B  /  A )  x.  ( C  /  A ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  /  ( A ^
3 ) )  -  ( ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) )  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
16146, 51, 67, 72divsubdird 10134 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C )
) )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  /  ( A ^
3 ) )  -  ( ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) )  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
162160, 161eqtr4d 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( B  /  A ) ^ 3 ) )  -  (
9  x.  ( ( B  /  A )  x.  ( C  /  A ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( ( 9  x.  A )  x.  ( B  x.  C
) ) )  / 
( A ^ 3 ) ) )
163150oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  D )  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  D )  / 
( ( A ^
2 )  x.  A
) ) )
16413, 1, 57, 16, 104divcan5d 10121 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  D )  /  (
( A ^ 2 )  x.  A ) )  =  ( D  /  A ) )
165163, 164eqtr2d 2466 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  /  A
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  D )  /  ( A ^
3 ) ) )
166165oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (; 2 7  x.  ( D  /  A ) )  =  (; 2 7  x.  (
( ( A ^
2 )  x.  D
)  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
16756a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> ; 2
7  e.  CC )
168167, 58, 67, 72divassd 10130 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) )  /  ( A ^ 3 ) )  =  (; 2 7  x.  (
( ( A ^
2 )  x.  D
)  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
169166, 168eqtr4d 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (; 2 7  x.  ( D  /  A ) )  =  ( (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) )  /  ( A ^ 3 ) ) )
170162, 169oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( B  /  A ) ^
3 ) )  -  ( 9  x.  (
( B  /  A
)  x.  ( C  /  A ) ) ) )  +  (; 2
7  x.  ( D  /  A ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  (
( 9  x.  A
)  x.  ( B  x.  C ) ) )  /  ( A ^ 3 ) )  +  ( (; 2 7  x.  (
( A ^ 2 )  x.  D ) )  /  ( A ^ 3 ) ) ) )
171134, 135, 1703eqtr4d 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  /  ( A ^ 3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( B  /  A ) ^ 3 ) )  -  ( 9  x.  ( ( B  /  A )  x.  ( C  /  A ) ) ) )  +  (; 2
7  x.  ( D  /  A ) ) ) )
172 cubic2.0 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
17335, 1, 172, 16divne0d 10111 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  /  A
)  =/=  0 )
17432, 33, 34, 2, 36, 77, 78, 120, 133, 171, 173mcubic 22127 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( B  /  A )  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C  /  A )  x.  X )  +  ( D  /  A ) ) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  ( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  -u ( ( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A
) ) )  +  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) )  /  (
r  x.  ( T  /  A ) ) ) )  /  3
) ) ) )
175 oveq1 6087 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
176 3nn 10468 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN
177 0exp 11883 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
178176, 177ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
179175, 178syl6eq 2481 . . . . . . 7  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  0 )
180 0ne1 10377 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
181180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( r  =  0  ->  0  =/=  1 )
182179, 181eqnetrd 2616 . . . . . 6  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =/=  1 )
183182necon2i 2648 . . . . 5  |-  ( ( r ^ 3 )  =  1  ->  r  =/=  0 )
184 simprl 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
r  e.  CC )
18535adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  T  e.  CC )
1861adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  A  e.  CC )
18716adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  A  =/=  0 )
188184, 185, 186, 187divassd 10130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( r  x.  T )  /  A
)  =  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )
189188eqcomd 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( r  x.  ( T  /  A ) )  =  ( ( r  x.  T )  /  A ) )
190189oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )  =  ( ( B  /  A )  +  ( ( r  x.  T )  /  A ) ) )
1917adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  B  e.  CC )
192184, 185mulcld 9394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( r  x.  T
)  e.  CC )
193191, 192, 186, 187divdird 10133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  /  A
)  =  ( ( B  /  A )  +  ( ( r  x.  T )  /  A ) ) )
194190, 193eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )  =  ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  /  A ) )
19591adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  M  e.  CC )
196195, 186, 187divcld 10095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( M  /  A
)  e.  CC )
197 simprr 749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
r  =/=  0 )
198172adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  T  =/=  0 )
199184, 185, 197, 198mulne0d 9976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( r  x.  T
)  =/=  0 )
200196, 192, 186, 199, 187divcan7d 10123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( M  /  A )  /  A )  /  (
( r  x.  T
)  /  A ) )  =  ( ( M  /  A )  /  ( r  x.  T ) ) )
201195, 186, 186, 187, 187divdiv1d 10126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  /  A )  /  A
)  =  ( M  /  ( A  x.  A ) ) )
202186sqvald 11989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
203202oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( M  /  ( A ^ 2 ) )  =  ( M  / 
( A  x.  A
) ) )
204201, 203eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  /  A )  /  A
)  =  ( M  /  ( A ^
2 ) ) )
205204, 188oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( M  /  A )  /  A )  /  (
( r  x.  T
)  /  A ) )  =  ( ( M  /  ( A ^ 2 ) )  /  ( r  x.  ( T  /  A
) ) ) )
206195, 186, 192, 187, 199divdiv32d 10120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  /  A )  /  (
r  x.  T ) )  =  ( ( M  /  ( r  x.  T ) )  /  A ) )
207200, 205, 2063eqtr3d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  / 
( A ^ 2 ) )  /  (
r  x.  ( T  /  A ) ) )  =  ( ( M  /  ( r  x.  T ) )  /  A ) )
208194, 207oveq12d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )  +  ( ( M  /  ( A ^ 2 ) )  /  ( r  x.  ( T  /  A
) ) ) )  =  ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  /  A )  +  ( ( M  / 
( r  x.  T
) )  /  A
) ) )
209191, 192addcld 9393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( B  +  ( r  x.  T ) )  e.  CC )
210195, 192, 199divcld 10095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( M  /  (
r  x.  T ) )  e.  CC )
211209, 210, 186, 187divdird 10133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  A
)  =  ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  /  A )  +  ( ( M  /  ( r  x.  T ) )  /  A ) ) )
212208, 211eqtr4d 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )  +  ( ( M  /  ( A ^ 2 ) )  /  ( r  x.  ( T  /  A
) ) ) )  =  ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  /  A ) )
213212oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A
) ) )  +  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) )  /  (
r  x.  ( T  /  A ) ) ) )  /  3
)  =  ( ( ( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  A )  /  3 ) )
214209, 210addcld 9393 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  e.  CC )
21586a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
3  e.  CC )
216 3ne0 10404 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
217216a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
3  =/=  0 )
218214, 186, 215, 187, 217divdiv1d 10126 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  /  A )  /  3
)  =  ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( A  x.  3 ) ) )
219 mulcom 9356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( A  x.  3 )  =  ( 3  x.  A ) )
220186, 86, 219sylancl 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( A  x.  3 )  =  ( 3  x.  A ) )
221220oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  ( A  x.  3 ) )  =  ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( 3  x.  A ) ) )
222213, 218, 2213eqtrd 2469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A
) ) )  +  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) )  /  (
r  x.  ( T  /  A ) ) ) )  /  3
)  =  ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( 3  x.  A ) ) )
223222negeqd 9592 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A
) ) )  +  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) )  /  (
r  x.  ( T  /  A ) ) ) )  /  3
)  =  -u (
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( 3  x.  A ) ) )
224223eqeq2d 2444 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( X  =  -u ( ( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A
) ) )  +  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) )  /  (
r  x.  ( T  /  A ) ) ) )  /  3
)  <->  X  =  -u (
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( 3  x.  A ) ) ) )
225224anassrs 641 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  r  =/=  0 )  ->  ( X  =  -u ( ( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )  +  ( ( M  /  ( A ^ 2 ) )  /  ( r  x.  ( T  /  A
) ) ) )  /  3 )  <->  X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  (
3  x.  A ) ) ) )
226183, 225sylan2 471 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
r ^ 3 )  =  1 )  -> 
( X  =  -u ( ( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A
) ) )  +  ( ( M  / 
( A ^ 2 ) )  /  (
r  x.  ( T  /  A ) ) ) )  /  3
)  <->  X  =  -u (
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( 3  x.  A ) ) ) )
227226pm5.32da 634 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  ( ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  -u (
( ( ( B  /  A )  +  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )  +  ( ( M  /  ( A ^ 2 ) )  /  ( r  x.  ( T  /  A
) ) ) )  /  3 ) )  <-> 
( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  (
3  x.  A ) ) ) ) )
228227rexbidva 2722 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  = 
-u ( ( ( ( B  /  A
)  +  ( r  x.  ( T  /  A ) ) )  +  ( ( M  /  ( A ^
2 ) )  / 
( r  x.  ( T  /  A ) ) ) )  /  3
) )  <->  E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  = 
-u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
( 3  x.  A
) ) ) ) )
22931, 174, 2283bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  ( X ^ 3 ) )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  -u (
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  ( 3  x.  A ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   E.wrex 2706  (class class class)co 6080   CCcc 9268   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    - cmin 9583   -ucneg 9584    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   3c3 10360   4c4 10361   7c7 10364   9c9 10366   NN0cn0 10567   ZZcz 10634  ;cdc 10743   ^cexp 11849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-dvds 13519
This theorem is referenced by:  cubic  22129
  Copyright terms: Public domain W3C validator