Theorem divassd 10715

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 10582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1322	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820   / cdiv 10563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564

This theorem is referenced by:  zesq  12849  discr  12863  crre  13702  abs1m  13923  sqreulem  13947  o1rlimmul  14197  geoisum1c  14450  mertenslem1  14455  eftlub  14678  lcmgcdlem  15157  cncongr2  15220  isprm5  15257  pcaddlem  15430  pockthlem  15447  mul4sqlem  15495  4sqlem17  15503  odadd1  18074  nmoleub3  22727  ipcau2  22841  pjthlem1  23016  dvrec  23524  plyeq0lem  23770  aareccl  23885  dvradcnv  23979  abelthlem7  23996  tangtx  24061  tanarg  24169  logcnlem4  24191  mcubic  24374  cubic2  24375  dquart  24380  quart1lem  24382  quart1  24383  tanatan  24446  atantan  24450  dvatan  24462  atantayl  24464  log2cnv  24471  lgamgulmlem4  24558  basellem3  24609  perfectlem2  24755  bposlem1  24809  bposlem2  24810  lgsquad2lem1  24909  chebbnd1lem2  24959  selberg3lem1  25046  selberg4lem1  25049  selberg4  25050  selberg4r  25059  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6  25072  pntibndlem2  25080  pntlemo  25096  ostth2lem3  25124  axeuclidlem  25642  pjhthlem1  27634  signsplypnf  29953  subfaclim  30424  circum  30822  faclimlem1  30882  faclimlem3  30884  knoppndvlem2  31674  knoppndvlem7  31679  knoppndvlem17  31689  itg2addnclem  32631  dvasin  32666  areacirclem1  32670  pellexlem6  36416  reglogexp  36476  binomcxplemwb  37569  binomcxplemnotnn0  37577  0ellimcdiv  38716  stoweidlem1  38894  wallispilem4  38961  stirlinglem3  38969  stirlinglem4  38970  stirlinglem7  38973  dirkertrigeq  38994  dirkercncflem2  38997  fourierdlem30  39030  fourierdlem83  39082  elaa2lem  39126  etransclem23  39150  etransclem24  39151  etransclem44  39171  etransclem45  39172  perfectALTVlem2  40165