MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divassd Structured version   Unicode version

Theorem divassd 10354
Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divassd  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( A  x.  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divassd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divass 10224 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( A  x.  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1232 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( A  x.  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6283   CCcc 9489   0cc0 9491    x. cmul 9496    / cdiv 10205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206
This theorem is referenced by:  zesq  12256  discr  12270  crre  12909  abs1m  13130  sqreulem  13154  o1rlimmul  13403  geoisum1c  13651  mertenslem1  13655  eftlub  13704  isprm5  14111  pcaddlem  14265  pockthlem  14281  mul4sqlem  14329  4sqlem17  14337  odadd1  16654  nmoleub3  21353  ipcau2  21428  pjthlem1  21603  dvrec  22109  plyeq0lem  22358  aareccl  22472  dvradcnv  22566  abelthlem7  22583  tangtx  22647  tanarg  22748  logcnlem4  22770  mcubic  22922  cubic2  22923  dquart  22928  quart1lem  22930  quart1  22931  tanatan  22994  atantan  22998  dvatan  23010  atantayl  23012  log2cnv  23019  basellem3  23100  perfectlem2  23249  bposlem1  23303  bposlem2  23304  lgsquad2lem1  23377  chebbnd1lem2  23399  selberg3lem1  23486  selberg4lem1  23489  selberg4  23490  selberg4r  23499  pntrlog2bndlem2  23507  pntrlog2bndlem3  23508  pntrlog2bndlem4  23509  pntrlog2bndlem5  23510  pntrlog2bndlem6  23512  pntibndlem2  23520  pntlemo  23536  ostth2lem3  23564  axeuclidlem  23957  pjhthlem1  26001  signsplypnf  28163  lgamgulmlem4  28230  subfaclim  28288  circum  28531  faclimlem1  28761  faclimlem3  28763  itg2addnclem  29659  dvasin  29696  areacirclem1  29700  pellexlem6  30390  reglogexp  30450  lcmgcdlem  30828  0ellimcdiv  31207  stoweidlem1  31317  wallispilem4  31384  stirlinglem3  31392  stirlinglem4  31393  stirlinglem7  31396  dirkertrigeq  31417  dirkercncflem2  31420  fourierdlem30  31453  fourierdlem83  31506
  Copyright terms: Public domain W3C validator