MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divassd Structured version   Unicode version

Theorem divassd 10417
Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divassd  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( A  x.  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divassd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divass 10287 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( A  x.  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1268 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( A  x.  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538    x. cmul 9543    / cdiv 10268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269
This theorem is referenced by:  zesq  12392  discr  12406  crre  13156  abs1m  13377  sqreulem  13401  o1rlimmul  13660  geoisum1c  13914  mertenslem1  13918  eftlub  14141  lcmgcdlem  14542  isprm5  14622  pcaddlem  14796  pockthlem  14812  mul4sqlem  14860  4sqlem17OLD  14868  4sqlem17  14874  odadd1  17421  nmoleub3  22026  ipcau2  22101  pjthlem1  22272  dvrec  22786  plyeq0lem  23032  aareccl  23147  dvradcnv  23241  abelthlem7  23258  tangtx  23325  tanarg  23433  logcnlem4  23455  mcubic  23638  cubic2  23639  dquart  23644  quart1lem  23646  quart1  23647  tanatan  23710  atantan  23714  dvatan  23726  atantayl  23728  log2cnv  23735  lgamgulmlem4  23822  basellem3  23872  perfectlem2  24021  bposlem1  24075  bposlem2  24076  lgsquad2lem1  24149  chebbnd1lem2  24171  selberg3lem1  24258  selberg4lem1  24261  selberg4  24262  selberg4r  24271  pntrlog2bndlem2  24279  pntrlog2bndlem3  24280  pntrlog2bndlem4  24281  pntrlog2bndlem5  24282  pntrlog2bndlem6  24284  pntibndlem2  24292  pntlemo  24308  ostth2lem3  24336  axeuclidlem  24838  pjhthlem1  26879  signsplypnf  29227  subfaclim  29699  circum  30106  faclimlem1  30166  faclimlem3  30168  itg2addnclem  31697  dvasin  31732  areacirclem1  31736  pellexlem6  35388  reglogexp  35448  binomcxplemwb  36334  binomcxplemnotnn0  36342  0ellimcdiv  37302  stoweidlem1  37430  wallispilem4  37499  stirlinglem3  37507  stirlinglem4  37508  stirlinglem7  37511  dirkertrigeq  37532  dirkercncflem2  37535  fourierdlem30  37568  fourierdlem83  37621  elaa2lem  37665  etransclem23  37689  etransclem24  37690  etransclem44  37710  etransclem45  37711  perfectALTVlem2  38234
  Copyright terms: Public domain W3C validator