MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divassd Structured version   Unicode version

Theorem divassd 10426
Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divassd  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( A  x.  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divassd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divass 10296 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( A  x.  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1268 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( A  x.  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614  (class class class)co 6306   CCcc 9545   0cc0 9547    x. cmul 9552    / cdiv 10277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278
This theorem is referenced by:  zesq  12402  discr  12416  crre  13178  abs1m  13399  sqreulem  13423  o1rlimmul  13682  geoisum1c  13936  mertenslem1  13940  eftlub  14163  lcmgcdlem  14571  isprm5  14651  pcaddlem  14833  pockthlem  14849  mul4sqlem  14897  4sqlem17OLD  14905  4sqlem17  14911  odadd1  17486  nmoleub3  22132  ipcau2  22207  pjthlem1  22390  dvrec  22908  plyeq0lem  23163  aareccl  23281  dvradcnv  23375  abelthlem7  23392  tangtx  23459  tanarg  23567  logcnlem4  23589  mcubic  23772  cubic2  23773  dquart  23778  quart1lem  23780  quart1  23781  tanatan  23844  atantan  23848  dvatan  23860  atantayl  23862  log2cnv  23869  lgamgulmlem4  23956  basellem3  24008  perfectlem2  24157  bposlem1  24211  bposlem2  24212  lgsquad2lem1  24285  chebbnd1lem2  24307  selberg3lem1  24394  selberg4lem1  24397  selberg4  24398  selberg4r  24407  pntrlog2bndlem2  24415  pntrlog2bndlem3  24416  pntrlog2bndlem4  24417  pntrlog2bndlem5  24418  pntrlog2bndlem6  24420  pntibndlem2  24428  pntlemo  24444  ostth2lem3  24472  axeuclidlem  24991  pjhthlem1  27043  signsplypnf  29448  subfaclim  29920  circum  30327  faclimlem1  30387  faclimlem3  30389  itg2addnclem  31958  dvasin  31993  areacirclem1  31997  pellexlem6  35649  reglogexp  35713  binomcxplemwb  36668  binomcxplemnotnn0  36676  0ellimcdiv  37671  stoweidlem1  37802  wallispilem4  37871  stirlinglem3  37879  stirlinglem4  37880  stirlinglem7  37883  dirkertrigeq  37904  dirkercncflem2  37907  fourierdlem30  37940  fourierdlem83  37994  elaa2lem  38038  elaa2lemOLD  38039  etransclem23  38063  etransclem24  38064  etransclem44  38084  etransclem45  38085  perfectALTVlem2  38715
  Copyright terms: Public domain W3C validator