MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divassd Structured version   Unicode version

Theorem divassd 10154
Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divassd  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( A  x.  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divassd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divass 10024 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( A  x.  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1222 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( A  x.  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618  (class class class)co 6103   CCcc 9292   0cc0 9294    x. cmul 9299    / cdiv 10005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006
This theorem is referenced by:  zesq  11999  discr  12013  crre  12615  abs1m  12835  sqreulem  12859  o1rlimmul  13108  geoisum1c  13352  mertenslem1  13356  eftlub  13405  isprm5  13810  pcaddlem  13962  pockthlem  13978  mul4sqlem  14026  4sqlem17  14034  odadd1  16342  nmoleub3  20686  ipcau2  20761  pjthlem1  20936  dvrec  21441  plyeq0lem  21690  aareccl  21804  dvradcnv  21898  abelthlem7  21915  tangtx  21979  tanarg  22080  logcnlem4  22102  mcubic  22254  cubic2  22255  dquart  22260  quart1lem  22262  quart1  22263  tanatan  22326  atantan  22330  dvatan  22342  atantayl  22344  log2cnv  22351  basellem3  22432  perfectlem2  22581  bposlem1  22635  bposlem2  22636  lgsquad2lem1  22709  chebbnd1lem2  22731  selberg3lem1  22818  selberg4lem1  22821  selberg4  22822  selberg4r  22831  pntrlog2bndlem2  22839  pntrlog2bndlem3  22840  pntrlog2bndlem4  22841  pntrlog2bndlem5  22842  pntrlog2bndlem6  22844  pntibndlem2  22852  pntlemo  22868  ostth2lem3  22896  axeuclidlem  23220  pjhthlem1  24806  signsplypnf  26963  lgamgulmlem4  27030  subfaclim  27088  circum  27331  faclimlem1  27561  faclimlem3  27563  itg2addnclem  28455  dvasin  28492  areacirclem1  28496  pellexlem6  29187  reglogexp  29247  stoweidlem1  29808  wallispilem4  29875  stirlinglem3  29883  stirlinglem4  29884  stirlinglem7  29887
  Copyright terms: Public domain W3C validator