MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divassd Unicode version

Theorem divassd 9781
Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divmuld.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
divassd.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divassd  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( A  x.  ( B  /  C ) ) )

Proof of Theorem divassd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divmuld.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 divassd.4 . 2  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
5 divass 9652 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( A  x.  ( B  /  C ) ) )
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1188 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  C
)  =  ( A  x.  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    x. cmul 8951    / cdiv 9633
This theorem is referenced by:  zesq  11457  discr  11471  crre  11874  abs1m  12094  sqreulem  12118  o1rlimmul  12367  geoisum1c  12612  mertenslem1  12616  eftlub  12665  isprm5  13067  pcaddlem  13212  pockthlem  13228  mul4sqlem  13276  4sqlem17  13284  odadd1  15418  nmoleub3  19080  ipcau2  19144  pjthlem1  19291  dvrec  19794  plyeq0lem  20082  aareccl  20196  dvradcnv  20290  abelthlem7  20307  tangtx  20366  tanarg  20467  logcnlem4  20489  mcubic  20640  cubic2  20641  dquart  20646  quart1lem  20648  quart1  20649  tanatan  20712  atantan  20716  dvatan  20728  atantayl  20730  log2cnv  20737  basellem3  20818  perfectlem2  20967  bposlem1  21021  bposlem2  21022  lgsquad2lem1  21095  chebbnd1lem2  21117  selberg3lem1  21204  selberg4lem1  21207  selberg4  21208  selberg4r  21217  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem3  21226  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6  21230  pntibndlem2  21238  pntlemo  21254  ostth2lem3  21282  pjhthlem1  22846  lgamgulmlem4  24769  subfaclim  24827  circum  25064  faclimlem1  25310  faclimlem3  25312  axeuclidlem  25805  itg2addnclem  26155  dvreasin  26179  areacirclem2  26181  pellexlem6  26787  reglogexp  26847  stoweidlem1  27617  wallispilem4  27684  stirlinglem3  27692  stirlinglem4  27693  stirlinglem7  27696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634
  Copyright terms: Public domain W3C validator