Theorem dvradcnv 23979

Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is at least as large as the radius of convergence of 𝐺. (In fact they are equal, but we don't have as much use for the negative side of this claim.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvradcnv.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
dvradcnv.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋↑𝑛)))
dvradcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvradcnv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dvradcnv.l	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvradcnv	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟   𝑛,𝑟,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem dvradcnv

Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11598	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		1nn0 11185	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4		ax-1cn 9873	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		nn0cn 11179	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
7		nn0ex 11175	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 6390	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) ∈ V
9	8	shftval4 13665	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
10	4, 6, 9	sylancr 694	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
11		addcom 10101	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
12	4, 6, 11	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
13	12	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)))
14		peano2nn0 11210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
15	14	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
16		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑖 = (𝑘 + 1))
17		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑖) = ((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))
18	17	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1))))
19	16, 18	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
20		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))
21		ovex 6577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))) ∈ V
22	19, 20, 21	fvmpt 6191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
23	15, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
24		dvradcnv.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
25		dvradcnv.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
26	25	pserval2 23969	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))
27	24, 14, 26	syl2an 493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))
28	27	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))
29	28	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
30	23, 29	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
31	10, 13, 30	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
32	15	nn0red 11229	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
33		dvradcnv.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34		ffvelrn 6265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
35	33, 14, 34	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
36		expcl 12740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
37	24, 14, 36	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
38	35, 37	mulcld 9939	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
39	38	abscld 14023	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
40	32, 39	remulcld 9949	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) ∈ ℝ)
41	31, 40	eqeltrd 2688	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) ∈ ℝ)
42		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
43	42	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑛 + 1)) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
44	42, 43	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
45		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑋↑𝑛) = (𝑋↑𝑘))
46	44, 45	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋↑𝑛)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)))
47		dvradcnv.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋↑𝑛)))
48		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)) ∈ V
49	46, 47, 48	fvmpt 6191	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐻‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)))
50	49	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)))
51	15	nn0cnd 11230	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
52	51, 35	mulcld 9939	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
53		expcl 12740	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
54	24, 53	sylan 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
55	52, 54	mulcld 9939	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
56	50, 55	eqeltrd 2688	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
57		dvradcnv.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
58		dvradcnv.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
59		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → 𝑖 = 𝑘)
60		fveq2 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑋)‘𝑖) = ((𝐺‘𝑋)‘𝑘))
61	60	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
62	59, 61	oveq12d 6567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
63	62	cbvmptv 4678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
64	25, 33, 57, 24, 58, 63	radcnvlt1 23976	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
65	64	simpld 474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ )
66		climdm 14133	. . . . . 6 ⊢ (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))))
67	65, 66	sylib 207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))))
68		0z 11265	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
69		neg1z 11290	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
70	8	isershft 14242	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))) ↔ seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))))))
71	68, 69, 70	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))) ↔ seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))))
72	67, 71	sylib 207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))))
73		seqex 12665	. . . . 5 ⊢ seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ V
74		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))) ∈ V
75	73, 74	breldm 5251	. . . 4 ⊢ (seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))) → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
76	72, 75	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
77		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(0 + -1)) = (ℤ≥‘(0 + -1))
78		neg1cn 11001	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
79	78	addid2i 10103	. . . . . . 7 ⊢ (0 + -1) = -1
80		0le1 10430	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
81		1re 9918	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
82		le0neg2 10416	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0))
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0)
84	80, 83	mpbi 219	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≤ 0
85	79, 84	eqbrtri 4604	. . . . . 6 ⊢ (0 + -1) ≤ 0
86	79, 69	eqeltri 2684	. . . . . . 7 ⊢ (0 + -1) ∈ ℤ
87	86	eluz1i 11571	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (0 + -1) ≤ 0))
88	68, 85, 87	mpbir2an 957	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1))
89	88	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)))
90		eluzelcn 11575	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
91	90	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
92	4, 91, 9	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1))) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
93		nn0re 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
94	93	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
95	25, 33, 24	psergf 23970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
96	95	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑖) ∈ ℂ)
97	96	abscld 14023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)) ∈ ℝ)
98	94, 97	remulcld 9949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))) ∈ ℝ)
99	98	recnd 9947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))) ∈ ℂ)
100	99, 20	fmptd 6292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))):ℕ0⟶ℂ)
101	4, 90, 11	sylancr 694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
102		eluzp1p1 11589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((0 + -1) + 1)))
103	79	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 + -1) + 1) = (-1 + 1)
104		1pneg1e0 11006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + -1) = 0
105	4, 78, 104	addcomli 10107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 + 1) = 0
106	103, 105	eqtri 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + -1) + 1) = 0
107	106	fveq2i 6106	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘((0 + -1) + 1)) = (ℤ≥‘0)
108	1, 107	eqtr4i 2635	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘((0 + -1) + 1))
109	102, 108	syl6eleqr 2699	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
110	101, 109	eqeltrd 2688	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) → (1 + 𝑘) ∈ ℕ0)
111		ffvelrn 6265	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))):ℕ0⟶ℂ ∧ (1 + 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) ∈ ℂ)
112	100, 110, 111	syl2an 493	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1))) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) ∈ ℂ)
113	92, 112	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1))) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
114	77, 89, 113	iserex 14235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ ))
115	76, 114	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
116		1red 9934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 1 ∈ ℝ)
117		df-ne 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0)
118	117	biimpri 217	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = 0 → 𝑋 ≠ 0)
119		absrpcl 13876	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
120	24, 118, 119	syl2an 493	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
121	120	rprecred 11759	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
122	116, 121	ifclda 4070	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
123		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (1 = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
124	123	breq2d 4595	. . . 4 ⊢ (1 = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) ↔ (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))))
125		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ ((1 / (abs‘𝑋)) = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
126	125	breq2d 4595	. . . 4 ⊢ ((1 / (abs‘𝑋)) = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) ↔ (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))))
127		elnnuz 11600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
128		nnnn0 11176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
129	127, 128	sylbir 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑘 ∈ ℕ0)
130	15	nn0ge0d 11231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
131	38	absge0d 14031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))
132	32, 39, 130, 131	mulge0d 10483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
133	129, 132	sylan2 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
134	133	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
135		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋↑𝑘) = (0↑𝑘))
136		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
137	136, 127	sylibr 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
138	137	0expd 12886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (0↑𝑘) = 0)
139	135, 138	sylan9eqr 2666	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑𝑘) = 0)
140	139	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0))
141	52	mul01d 10114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
142	129, 141	sylan2 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
143	142	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
144	140, 143	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)) = 0)
145	144	abs00bd 13879	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) = 0)
146	40	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) ∈ ℂ)
147	146	mulid2d 9937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
148	129, 147	sylan2 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
149	148	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
150	134, 145, 149	3brtr4d 4615	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
151	55	abscld 14023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ∈ ℝ)
152	51, 35, 54	mulassd 9942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘))))
153	152	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) = (abs‘((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
154	35, 54	mulcld 9939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
155	51, 154	absmuld 14041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))) = ((abs‘(𝑘 + 1)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
156	32, 130	absidd 14009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
157	156	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑘 + 1)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
158	153, 155, 157	3eqtrd 2648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
159		eqle 10018	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘))))) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
160	151, 158, 159	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
161	160	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
162	24	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
163	119	rpreccld 11758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ+)
164	162, 163	sylan 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ+)
165	164	rpcnd 11750	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
166	51	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
167	39	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
168	167	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
169	165, 166, 168	mul12d 10124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
170	38	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
171	24	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
172		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
173	170, 171, 172	absdivd 14042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋)) = ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) / (abs‘𝑋)))
174	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
175	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
176	174, 175, 171, 172	divassd 10715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋)))
177	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
178		pncan 10166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
179	177, 4, 178	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
180	179	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑋↑𝑘))
181	15	nn0zd 11356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
182	181	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
183	171, 172, 182	expm1d 12880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑((𝑘 + 1) − 1)) = ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋))
184	180, 183	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑𝑘) = ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋))
185	184	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋)))
186	176, 185	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))
187	186	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋)) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘))))
188	24	abscld 14023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
189	188	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
190	189	recnd 9947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
191	162, 119	sylan 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
192	191	rpne0d 11753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ≠ 0)
193	168, 190, 192	divrec2d 10684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) / (abs‘𝑋)) = ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
194	173, 187, 193	3eqtr3rd 2653	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘))))
195	194	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑘 + 1) · ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
196	169, 195	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
197	161, 196	breqtrrd 4611	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
198	129, 197	sylanl2 681	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
199	117, 198	sylan2br 492	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
200	124, 126, 150, 199	ifbothda 4073	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
201	50	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐻‘𝑘)) = (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))))
202	129, 201	sylan2 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘(𝐻‘𝑘)) = (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))))
203	31	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
204	129, 203	sylan2 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
205	200, 202, 204	3brtr4d 4615	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘(𝐻‘𝑘)) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)))
206	1, 3, 41, 56, 115, 122, 205	cvgcmpce 14391	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ℝ⁺crp 11708  seqcseq 12663  ↑cexp 12722   shift cshi 13654  abscabs 13822   ⇝ cli 14063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  23986  dvradcnv2  37568