Theorem knoppndvlem7 31679

Description: Lemma for knoppndv 31695. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem7.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem7.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem7.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem7.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem7.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem7	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem7.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		knoppndvlem7.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
4		knoppndvlem7.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		knoppndvlem7.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 11356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
7		knoppndvlem7.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8	4, 6, 7	knoppndvlem1 31673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
9	3, 8	eqeltrd 2688	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	1, 9, 5	knoppcnlem1 31653	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴))))
11	2	oveq2i 6560	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
13		2cnd 10970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
14		nnz 11276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	4, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 11359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
17	13, 16	mulcld 9939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
18	17, 5	expcld 12870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ∈ ℂ)
19		2ne0 10990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
21		0red 9920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
22		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
23	15	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
24		0lt1 10429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
26		nnge1 10923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
27	4, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
28	21, 22, 23, 25, 27	ltletrd 10076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
29	21, 28	ltned 10052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
30	29	necomd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
31	13, 16, 20, 30	mulne0d 10558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
32	6	znegcld 11360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
33	17, 31, 32	expclzd 12875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
34	33, 13, 20	divcld 10680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
35	7	zcnd 11359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
36	18, 34, 35	mulassd 9942	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
37	36	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀))
38	18, 33, 13, 20	divassd 10715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
39	38	eqcomd 2616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2))
40	17, 31, 6	expnegd 12877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽)))
41	40	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))))
42	17, 31, 6	expne0d 12876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐽) ≠ 0)
43	18, 42	recidd 10675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (1 / ((2 · 𝑁)↑𝐽))) = 1)
44	41, 43	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = 1)
45	44	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (1 / 2))
46	39, 45	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (1 / 2))
47	46	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐽) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = ((1 / 2) · 𝑀))
48	35, 13, 20	divrec2d 10684	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) = ((1 / 2) · 𝑀))
49	48	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑀) = (𝑀 / 2))
50	37, 47, 49	3eqtrd 2648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = (𝑀 / 2))
51	12, 50	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴) = (𝑀 / 2))
52	51	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴)) = (𝑇‘(𝑀 / 2)))
53	52	oveq2d 6565	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝐽) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
54	10, 53	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ⌊cfl 12453  ↑cexp 12722  abscabs 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  knoppndvlem8  31680  knoppndvlem9  31681