Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | binomcxplem.p |
. . . . . . 7
⊢ 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) |
2 | | binomcxplem.d |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐷 = (◡abs “ (0[,)𝑅)) |
3 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑏◡abs |
4 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑏0 |
5 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑏[,) |
6 | | binomcxplem.r |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*,
< ) |
7 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑏
+ |
8 | | binomcxplem.s |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
9 | | nfmpt1 4675 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
10 | 8, 9 | nfcxfr 2749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑏𝑆 |
11 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑏𝑟 |
12 | 10, 11 | nffv 6110 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑟) |
13 | 4, 7, 12 | nfseq 12673 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑏seq0(
+ , (𝑆‘𝑟)) |
14 | 13 | nfel1 2765 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑏seq0( + ,
(𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ |
15 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑏ℝ |
16 | 14, 15 | nfrab 3100 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } |
17 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑏ℝ* |
18 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑏
< |
19 | 16, 17, 18 | nfsup 8240 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*,
< ) |
20 | 6, 19 | nfcxfr 2749 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑏𝑅 |
21 | 4, 5, 20 | nfov 6575 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑏(0[,)𝑅) |
22 | 3, 21 | nfima 5393 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑏(◡abs
“ (0[,)𝑅)) |
23 | 2, 22 | nfcxfr 2749 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑏𝐷 |
24 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥𝐷 |
25 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) |
26 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑏ℕ0 |
27 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑏𝑥 |
28 | 10, 27 | nffv 6110 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑏(𝑆‘𝑥) |
29 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑏𝑘 |
30 | 28, 29 | nffv 6110 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑏((𝑆‘𝑥)‘𝑘) |
31 | 26, 30 | nfsum 14269 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) |
32 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥) |
33 | 32 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘𝑥)) |
34 | 33 | fveq1d 6105 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)) |
35 | 34 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)) |
36 | 23, 24, 25, 31, 35 | cbvmptf 4676 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)) |
37 | 1, 36 | eqtri 2632 |
. . . . . 6
⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘)) |
38 | 37 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))) |
39 | | simplr 788 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) |
40 | 39 | fveq2d 6107 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) |
41 | 40 | fveq1d 6105 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘)) |
42 | 41 | sumeq2dv 14281 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘)) |
43 | | binomcxp.b |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
44 | 43 | recnd 9947 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
45 | 44 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈
ℂ) |
46 | | binomcxp.a |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ+) |
47 | 46 | rpcnd 11750 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
48 | 47 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈
ℂ) |
49 | | 0red 9920 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈
ℝ) |
50 | 45 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐵) ∈
ℝ) |
51 | 48 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐴) ∈
ℝ) |
52 | 45 | absge0d 14031 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤
(abs‘𝐵)) |
53 | | binomcxp.lt |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴)) |
54 | 53 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐵) <
(abs‘𝐴)) |
55 | 49, 50, 51, 52, 54 | lelttrd 10074 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 <
(abs‘𝐴)) |
56 | 55 | gt0ne0d 10471 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐴) ≠
0) |
57 | 48 | abs00ad 13878 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴) = 0 ↔
𝐴 = 0)) |
58 | 57 | necon3bid 2826 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴) ≠ 0
↔ 𝐴 ≠
0)) |
59 | 56, 58 | mpbid 221 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≠ 0) |
60 | 45, 48, 59 | divcld 10680 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) |
61 | 60 | abscld 14023 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈
ℝ) |
62 | 60 | absge0d 14031 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤
(abs‘(𝐵 / 𝐴))) |
63 | 51 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐴) ∈
ℂ) |
64 | 63 | mulid1d 9936 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐴) · 1)
= (abs‘𝐴)) |
65 | 54, 64 | breqtrrd 4611 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐵) <
((abs‘𝐴) ·
1)) |
66 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈
ℝ) |
67 | 51, 55 | elrpd 11745 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘𝐴) ∈
ℝ+) |
68 | 50, 66, 67 | ltdivmuld 11799 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(((abs‘𝐵) /
(abs‘𝐴)) < 1
↔ (abs‘𝐵) <
((abs‘𝐴) ·
1))) |
69 | 65, 68 | mpbird 246 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((abs‘𝐵) /
(abs‘𝐴)) <
1) |
70 | 45, 48, 59 | absdivd 14042 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴))) |
71 | | binomcxp.c |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
72 | | binomcxplem.f |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)) |
73 | 46, 43, 53, 71, 72, 8, 6 | binomcxplemradcnv 37573 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1) |
74 | 69, 70, 73 | 3brtr4d 4615 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅) |
75 | | 0re 9919 |
. . . . . . . 8
⊢ 0 ∈
ℝ |
76 | | ssrab2 3650 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( +
, (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆
ℝ |
77 | | ressxr 9962 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ℝ
⊆ ℝ* |
78 | 76, 77 | sstri 3577 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( +
, (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆
ℝ* |
79 | | supxrcl 12017 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( +
, (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆
ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*,
< ) ∈ ℝ*) |
80 | 78, 79 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
⊢
sup({𝑟 ∈
ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*,
< ) ∈ ℝ* |
81 | 6, 80 | eqeltri 2684 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑅 ∈
ℝ* |
82 | | elico2 12108 |
. . . . . . . 8
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 𝑅
∈ ℝ*) → ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅))) |
83 | 75, 81, 82 | mp2an 704 |
. . . . . . 7
⊢
((abs‘(𝐵 /
𝐴)) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) < 𝑅)) |
84 | 61, 62, 74, 83 | syl3anbrc 1239 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)) |
85 | 2 | eleq2i 2680 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐵 / 𝐴) ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅))) |
86 | | absf 13925 |
. . . . . . . 8
⊢
abs:ℂ⟶ℝ |
87 | | ffn 5958 |
. . . . . . . 8
⊢
(abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ) |
88 | | elpreima 6245 |
. . . . . . . 8
⊢ (abs Fn
ℂ → ((𝐵 / 𝐴) ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅)))) |
89 | 86, 87, 88 | mp2b 10 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))) |
90 | 85, 89 | bitri 263 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ (0[,)𝑅))) |
91 | 60, 84, 90 | sylanbrc 695 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) |
92 | | sumex 14266 |
. . . . . 6
⊢
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V |
93 | 92 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) ∈ V) |
94 | 38, 42, 91, 93 | fvmptd 6197 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘)) |
95 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (abs
∘ − ) = (abs ∘ − ) |
96 | 95 | cnbl0 22387 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑅 ∈ ℝ*
→ (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘
− ))𝑅)) |
97 | 81, 96 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ −
))𝑅) |
98 | 2, 97 | eqtri 2632 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐷 = (0(ball‘(abs ∘
− ))𝑅) |
99 | | 0cnd 9912 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈
ℂ) |
100 | 81 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈
ℝ*) |
101 | | mulcl 9899 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ) |
102 | 101 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ) |
103 | | nfv 1830 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈
ℕ0) |
104 | 23 | nfcri 2745 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑏 𝑥 ∈ 𝐷 |
105 | 103, 104 | nfan 1816 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) |
106 | 31 | nfel1 2765 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ0
((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ |
107 | 105, 106 | nfim 1813 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ) |
108 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ 𝑥 ∈ 𝐷)) |
109 | 108 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))) |
110 | 35 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 = 𝑥 → (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ0
((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ)) |
111 | 109, 110 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ))) |
112 | | nn0uz 11598 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
113 | | 0zd 11266 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℤ) |
114 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) |
115 | | cnvimass 5404 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs |
116 | 2, 115 | eqsstri 3598 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 𝐷 ⊆ dom
abs |
117 | 86 | fdmi 5965 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ dom abs =
ℂ |
118 | 116, 117 | sseqtri 3600 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 𝐷 ⊆
ℂ |
119 | 118 | sseli 3564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ∈ ℂ) |
120 | 8 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))) |
121 | | nn0ex 11175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
ℕ0 ∈ V |
122 | 121 | mptex 6390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) ∈ V |
123 | 122 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) ∈ V) |
124 | 120, 123 | fvmpt2d 6202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
125 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V |
126 | 125 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V) |
127 | 124, 126 | fvmpt2d 6202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
128 | 72 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))) |
129 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘) |
130 | 129 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
131 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈
ℕ0) |
132 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V |
133 | 132 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V) |
134 | 128, 130,
131, 133 | fvmptd 6197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
135 | 134 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
136 | 135 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
137 | 127, 136 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
138 | 119, 137 | sylanl2 681 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
139 | 71 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈
ℂ) |
140 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈
ℕ0) |
141 | 139, 140 | bcccl 37560 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈
ℂ) |
142 | 119 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈
ℂ) |
143 | 142, 140 | expcld 12870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) ∈ ℂ) |
144 | 141, 143 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
145 | 138, 144 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) |
146 | 145 | adantllr 751 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) |
147 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ 𝑏 ∈ 𝐷)) |
148 | 147 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ↔ (𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷))) |
149 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑏)) |
150 | 149 | seqeq3d 12671 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑏 → seq0( + , (𝑆‘𝑥)) = seq0( + , (𝑆‘𝑏))) |
151 | 150 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑏 → (seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )) |
152 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝐸‘𝑥) = (𝐸‘𝑏)) |
153 | 152 | seqeq3d 12671 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑏 → seq1( + , (𝐸‘𝑥)) = seq1( + , (𝐸‘𝑏))) |
154 | 153 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑏 → (seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )) |
155 | 151, 154 | anbi12d 743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ↔ (seq0( + ,
(𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ))) |
156 | 148, 155 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑏 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )))) |
157 | | binomcxplem.e |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
158 | 46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 157, 2 | binomcxplemcvg 37575 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )) |
159 | 156, 158 | chvarv 2251 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )) |
160 | 159 | simpld 474 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) |
161 | 160 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) |
162 | 112, 113,
114, 146, 161 | isumcl 14334 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) |
163 | 107, 111,
162 | chvar 2250 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) ∈ ℂ) |
164 | 163, 37 | fmptd 6292 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃:𝐷⟶ℂ) |
165 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ) |
166 | 118 | sseli 3564 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ) |
167 | 166 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ) |
168 | 165, 167 | addcld 9938 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ∈ ℂ) |
169 | 71 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ) |
170 | 169 | negcld 10258 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ) |
171 | 168, 170 | cxpcld 24254 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ) |
172 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑥((1 +
𝑏)↑𝑐-𝐶) |
173 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑏((1 +
𝑥)↑𝑐-𝐶) |
174 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 = 𝑥 → (1 + 𝑏) = (1 + 𝑥)) |
175 | 174 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)) |
176 | 23, 24, 172, 173, 175 | cbvmptf 4676 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶)) |
177 | 171, 176 | fmptd 6292 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶ℂ) |
178 | | cnex 9896 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ℂ
∈ V |
179 | | fex 6394 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈
V) |
180 | 86, 178, 179 | mp2an 704 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ abs
∈ V |
181 | 180 | cnvex 7006 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ◡abs ∈ V |
182 | | imaexg 6995 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (◡abs ∈ V → (◡abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V) |
183 | 181, 182 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ∈ V |
184 | 2, 183 | eqeltri 2684 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐷 ∈ V |
185 | 184 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ V) |
186 | | inidm 3784 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷 |
187 | 102, 164,
177, 185, 185, 186 | off 6810 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ) |
188 | | 1ex 9914 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
V |
189 | 188 | fconst 6004 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐷 × {1}):𝐷⟶{1} |
190 | | fconstmpt 5085 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐷 × {1}) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1) |
191 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑏1 |
192 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑥1 |
193 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑏 → 1 = 1) |
194 | 24, 23, 191, 192, 193 | cbvmptf 4676 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) |
195 | 190, 194 | eqtri 2632 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐷 × {1}) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) |
196 | 195 | feq1i 5949 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐷 × {1}):𝐷⟶{1} ↔ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1}) |
197 | 189, 196 | mpbi 219 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1} |
198 | | ax-1cn 9873 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 1 ∈
ℂ |
199 | | snssi 4280 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (1 ∈
ℂ → {1} ⊆ ℂ) |
200 | 198, 199 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {1}
⊆ ℂ |
201 | | fss 5969 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ)
→ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ) |
202 | 197, 200,
201 | mp2an 704 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ |
203 | 202 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1):𝐷⟶ℂ) |
204 | | cnelprrecn 9908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ℂ
∈ {ℝ, ℂ} |
205 | 204 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ℂ
∈ {ℝ, ℂ}) |
206 | 46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 157, 2, 1 | binomcxplemdvsum 37576 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) |
207 | 206 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) |
208 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) |
209 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
Ⅎ𝑏ℕ |
210 | | nfmpt1 4675 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Ⅎ𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
211 | 157, 210 | nfcxfr 2749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑏𝐸 |
212 | 211, 27 | nffv 6110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
Ⅎ𝑏(𝐸‘𝑥) |
213 | 212, 29 | nffv 6110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
Ⅎ𝑏((𝐸‘𝑥)‘𝑘) |
214 | 209, 213 | nfsum 14269 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑏Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘) |
215 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑥) |
216 | 215 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐸‘𝑏) = (𝐸‘𝑥)) |
217 | 216 | fveq1d 6105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐸‘𝑥)‘𝑘)) |
218 | 217 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘)) |
219 | 23, 24, 208, 214, 218 | cbvmptf 4676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘)) |
220 | 207, 219 | syl6eq 2660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D 𝑃) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘))) |
221 | | sumex 14266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Σ𝑘 ∈
ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘) ∈ V |
222 | 221 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑥)‘𝑘) ∈ V) |
223 | 220, 222 | fmpt3d 6293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D 𝑃):𝐷⟶V) |
224 | | fdm 5964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ℂ
D 𝑃):𝐷⟶V → dom (ℂ D 𝑃) = 𝐷) |
225 | 223, 224 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom
(ℂ D 𝑃) = 𝐷) |
226 | 46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 157, 2 | binomcxplemdvbinom 37574 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))) |
227 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑥(-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) |
228 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑏(-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))) |
229 | 174 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))) |
230 | 229 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 = 𝑥 → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) |
231 | 23, 24, 227, 228, 230 | cbvmptf 4676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) |
232 | 226, 231 | syl6eq 2660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))))) |
233 | 170, 165 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ) |
234 | 168, 233 | cxpcld 24254 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈
ℂ) |
235 | 170, 234 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑥)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈
ℂ) |
236 | 232, 235 | fmpt3d 6293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ) |
237 | | fdm 5964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ℂ
D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))):𝐷⟶ℂ → dom (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝐷) |
238 | 236, 237 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom
(ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝐷) |
239 | 205, 164,
177, 225, 238 | dvmulf 23512 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (((ℂ D 𝑃) ∘𝑓 ·
(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((ℂ
D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 ·
𝑃))) |
240 | 71 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ) |
241 | 240 | mulid1d 9936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · 1) = 𝐶) |
242 | 241 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))) |
243 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ) |
244 | | nnuz 11599 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘1) |
245 | | 1zzd 11285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℤ) |
246 | | nnnn0 11176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈
ℕ0) |
247 | 246, 138 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
248 | 247 | adantllr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
249 | 71 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈
ℂ) |
250 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈
ℕ0) |
251 | 249, 250 | bcccl 37560 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈
ℂ) |
252 | 246, 251 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ) |
253 | 119 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ ℂ) |
254 | 253 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈
ℂ) |
255 | 254, 250 | expcld 12870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) ∈ ℂ) |
256 | 246, 255 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑𝑘) ∈ ℂ) |
257 | 252, 256 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
258 | | 1nn0 11185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
259 | 258 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈
ℕ0) |
260 | 112, 259,
145 | iserex 14235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ )) |
261 | 160, 260 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) |
262 | 261 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) |
263 | 244, 245,
248, 257, 262 | isumcl 14334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
264 | 240, 243,
263 | adddid 9943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = ((𝐶 · 1) + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))) |
265 | 157 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))) |
266 | | nnex 10903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ℕ
∈ V |
267 | 266 | mptex 6390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V |
268 | 267 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈ V) |
269 | 265, 268 | fvmpt2d 6202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
270 | 119, 269 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
271 | 270 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
272 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V |
273 | 272 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V) |
274 | 271, 273 | fmpt3d 6293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏):ℕ⟶V) |
275 | 274 | feqmptd 6159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) |
276 | 272 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V) |
277 | 269, 276 | fvmpt2d 6202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
278 | 246, 134 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
279 | 278 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘))) |
280 | 279 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
281 | 280 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
282 | 277, 281 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
283 | 71 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ) |
284 | | nnm1nn0 11211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈
ℕ0) |
285 | 284 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈
ℕ0) |
286 | 283, 285 | bccp1k 37562 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1)))) |
287 | 246 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
288 | 287 | nn0cnd 11230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ) |
289 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈
ℂ) |
290 | 288, 289 | npcand 10275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘) |
291 | 290 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐((𝑘 − 1) + 1)) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
292 | 290 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)) |
293 | 292 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / ((𝑘 − 1) + 1))) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))) |
294 | 286, 291,
293 | 3eqtr3d 2652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))) |
295 | 294 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))) |
296 | 283, 285 | bcccl 37560 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
297 | 288, 289 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ) |
298 | 283, 297 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
299 | | nnne0 10930 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0) |
300 | 299 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0) |
301 | 296, 298,
288, 300 | divassd 10715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘))) |
302 | 301 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = (𝑘 · ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · ((𝐶 − (𝑘 − 1)) / 𝑘)))) |
303 | 296, 298 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) ∈
ℂ) |
304 | 303, 288,
300 | divcan2d 10682 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) / 𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1)))) |
305 | 295, 302,
304 | 3eqtr2d 2650 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1)))) |
306 | 305 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
307 | 306 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
308 | 296 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
309 | 298 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
310 | 308, 309 | mulcomd 9940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) = ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) |
311 | 310 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) · (𝐶 − (𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
312 | 282, 307,
311 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
313 | 119, 312 | sylanl2 681 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
314 | 313 | adantllr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
315 | 314 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
316 | 275, 315 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐸‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
317 | 316 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐸‘𝑏) shift -1) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1)) |
318 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
319 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈ V |
320 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑘 − 1) = ((𝑗 − -1) − 1)) |
321 | 320 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1))) |
322 | 320 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) |
323 | 321, 322 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) −
1)))) |
324 | 320 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))) |
325 | 323, 324 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑘 = (𝑗 − -1) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)))
· (𝑏↑((𝑗 − -1) −
1)))) |
326 | | 1pneg1e0 11006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (1 + -1)
= 0 |
327 | 326 | fveq2i 6106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢
(ℤ≥‘(1 + -1)) =
(ℤ≥‘0) |
328 | 112, 327 | eqtr4i 2635 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘(1 +
-1)) |
329 | 245 | znegcld 11360 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → -1 ∈ ℤ) |
330 | 318, 319,
325, 244, 328, 245, 329 | uzmptshftfval 37567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) shift -1) = (𝑗 ∈ ℕ0
↦ (((𝐶 −
((𝑗 − -1) − 1))
· (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))))) |
331 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − -1) = (𝑘 − -1)) |
332 | 331 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 − -1) − 1) = ((𝑘 − -1) −
1)) |
333 | 332 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1))) |
334 | 332 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)) = (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) |
335 | 333, 334 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) =
((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1))
· (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))) |
336 | 332 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)) = (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))) |
337 | 335, 336 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)))
· (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1))) =
(((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1))
· (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))) |
338 | 337 | cbvmptv 4678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑗 ∈ ℕ0
↦ (((𝐶 −
((𝑗 − -1) − 1))
· (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ0
↦ (((𝐶 −
((𝑘 − -1) − 1))
· (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) · (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))) |
339 | 338 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑗 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑗 − -1) − 1)))
· (𝑏↑((𝑗 − -1) − 1)))) =
(𝑘 ∈
ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))
· (𝑏↑((𝑘 − -1) −
1))))) |
340 | 317, 330,
339 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐸‘𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))
· (𝑏↑((𝑘 − -1) −
1))))) |
341 | | nn0cn 11179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ 𝑘 ∈
ℂ) |
342 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℂ) |
343 | 341, 342 | subnegd 10278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ (𝑘 − -1) =
(𝑘 + 1)) |
344 | 343 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ ((𝑘 − -1)
− 1) = ((𝑘 + 1)
− 1)) |
345 | 341, 342 | pncand 10272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ ((𝑘 + 1) − 1)
= 𝑘) |
346 | 344, 345 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
→ ((𝑘 − -1)
− 1) = 𝑘) |
347 | 346 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 − -1) − 1) = 𝑘) |
348 | 347 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) = (𝐶 − 𝑘)) |
349 | 347 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)) =
(𝐶C𝑐𝑘)) |
350 | 348, 349 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1))) =
((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘))) |
351 | 347 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)) = (𝑏↑𝑘)) |
352 | 350, 351 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))
· (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1))) =
(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
353 | 352 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − ((𝑘 − -1) − 1)) · (𝐶C𝑐((𝑘 − -1) − 1)))
· (𝑏↑((𝑘 − -1) − 1)))) =
(𝑘 ∈
ℕ0 ↦ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))) |
354 | 340, 353 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐸‘𝑏) shift -1) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))) |
355 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V |
356 | 355 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V) |
357 | 354, 356 | fvmpt2d 6202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
358 | 246, 357 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘𝑘) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
359 | 341 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈
ℂ) |
360 | 249, 359 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ) |
361 | 360, 251 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ) |
362 | 361, 255 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
363 | 246, 362 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
364 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)) |
365 | 364 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗))) |
366 | 365 | cbvmptv 4678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗))) |
367 | 314 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
368 | 253 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ) |
369 | 71 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ) |
370 | | nncn 10905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈
ℂ) |
371 | 370 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ) |
372 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈
ℂ) |
373 | 371, 372 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ) |
374 | 369, 373 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
375 | 284 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈
ℕ0) |
376 | 369, 375 | bcccl 37560 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
377 | 374, 376 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) ∈
ℂ) |
378 | 368, 375 | expcld 12870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ) |
379 | 368, 377,
378 | mul12d 10124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
380 | 368, 378 | mulcomd 9940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏)) |
381 | 368, 375 | expp1d 12871 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((𝑏↑(𝑘 − 1)) · 𝑏)) |
382 | 290 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘) |
383 | 382 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘) |
384 | 383 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑((𝑘 − 1) + 1)) = (𝑏↑𝑘)) |
385 | 380, 381,
384 | 3eqtr2d 2650 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝑏↑𝑘)) |
386 | 385 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏 · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) |
387 | 379, 386 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) |
388 | 367, 387 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) |
389 | 388 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
390 | 366, 389 | syl5eqr 2658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
391 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V |
392 | 391 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V) |
393 | 390, 392 | fvmpt2d 6202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) |
394 | 377, 256 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
395 | | climrel 14071 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ Rel
⇝ |
396 | 159 | simprd 478 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) |
397 | 396 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) |
398 | | climdm 14133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (seq1( +
, (𝐸‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔
seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝
‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))) |
399 | 397, 398 | sylib 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))) |
400 | | 0z 11265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ 0 ∈
ℤ |
401 | | neg1z 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ -1 ∈
ℤ |
402 | | fvex 6113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝐸‘𝑏) ∈ V |
403 | 402 | seqshft 13673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((0
∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1)) |
404 | 400, 401,
403 | mp2an 704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ seq0( + ,
((𝐸‘𝑏) shift -1)) = (seq(0 −
-1)( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) |
405 | | 0cn 9911 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ 0 ∈
ℂ |
406 | 405, 198 | subnegi 10239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (0
− -1) = (0 + 1) |
407 | | 0p1e1 11009 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (0 + 1) =
1 |
408 | 406, 407 | eqtri 2632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (0
− -1) = 1 |
409 | | seqeq1 12666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((0
− -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , (𝐸‘𝑏)) = seq1( + , (𝐸‘𝑏))) |
410 | 408, 409 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ seq(0
− -1)( + , (𝐸‘𝑏)) = seq1( + , (𝐸‘𝑏)) |
411 | 410 | oveq1i 6559 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (seq(0
− -1)( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) = (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) |
412 | 404, 411 | eqtri 2632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ seq0( + ,
((𝐸‘𝑏) shift -1)) = (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) |
413 | 412 | breq1i 4590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (seq0( +
, ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝
‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ (seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( +
, (𝐸‘𝑏)))) |
414 | | seqex 12665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ seq1( + ,
(𝐸‘𝑏)) ∈ V |
415 | | climshft 14155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((-1
∈ ℤ ∧ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ∈ V) → ((seq1( + , (𝐸‘𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( +
, (𝐸‘𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))) |
416 | 401, 414,
415 | mp2an 704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((seq1( +
, (𝐸‘𝑏)) shift -1) ⇝ ( ⇝
‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))) |
417 | 413, 416 | bitri 263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (seq0( +
, ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝
‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))) ↔ seq1( + , (𝐸‘𝑏)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏)))) |
418 | 399, 417 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( +
, (𝐸‘𝑏)))) |
419 | | releldm 5279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((Rel
⇝ ∧ seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( +
, (𝐸‘𝑏)))) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝
) |
420 | 395, 418,
419 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝
) |
421 | 258 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 1 ∈
ℕ0) |
422 | 357, 362 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘𝑘) ∈ ℂ) |
423 | 112, 421,
422 | iserex 14235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (seq0( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq1(
+ , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝
)) |
424 | 420, 423 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , ((𝐸‘𝑏) shift -1)) ∈ dom ⇝
) |
425 | 377, 378 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈
ℂ) |
426 | 314, 425 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) |
427 | 393, 388 | eqtr4d 2647 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))‘𝑘) = (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑘))) |
428 | 244, 245,
253, 399, 426, 427 | isermulc2 14236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))) |
429 | | releldm 5279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((Rel
⇝ ∧ seq1( + , (𝑗
∈ ℕ ↦ (𝑏
· ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ⇝ (𝑏 · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝐸‘𝑏))))) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ ) |
430 | 395, 428,
429 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑏 · ((𝐸‘𝑏)‘𝑗)))) ∈ dom ⇝ ) |
431 | 244, 245,
358, 363, 393, 394, 424, 430 | isumadd 14340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
432 | 431 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))) |
433 | 369, 371 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ) |
434 | 433, 252 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) ∈ ℂ) |
435 | 434, 377,
256 | adddird 9944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
436 | 435 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
437 | 436 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))) |
438 | 312 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
439 | 438 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
440 | 119, 439 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
441 | 440 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
442 | 244, 245,
314, 425, 397 | isumcl 14334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) ∈
ℂ) |
443 | 243, 253,
442 | adddird 9944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))) |
444 | 442 | mulid2d 9937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) |
445 | 244, 245,
314, 425, 397, 253 | isummulc2 14335 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) |
446 | 387 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑏 · (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) |
447 | 445, 446 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) |
448 | 444, 447 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) + (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
449 | 441, 443,
448 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
450 | 407 | fveq2i 6106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(ℤ≥‘(0 + 1)) =
(ℤ≥‘1) |
451 | 244, 450 | eqtr4i 2635 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘(0 + 1)) |
452 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑘 − 1) = ((1 + 𝑗) − 1)) |
453 | 452 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶 − (𝑘 − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1))) |
454 | 452 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) |
455 | 453, 454 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)))) |
456 | 452 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) |
457 | 455, 456 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑘 = (1 + 𝑗) → (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)))) |
458 | 112, 451,
457, 245, 113, 425 | isumshft 14410 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)))) |
459 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 + 𝑗) = (1 + 𝑘)) |
460 | 459 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + 𝑗) − 1) = ((1 + 𝑘) − 1)) |
461 | 460 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1))) |
462 | 460 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1)) = (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) |
463 | 461, 462 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) = ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)))) |
464 | 460 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1)) = (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) |
465 | 463, 464 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))) |
466 | 465 | cbvsumv 14274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
Σ𝑗 ∈
ℕ0 (((𝐶
− ((1 + 𝑗) −
1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) |
467 | 466 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑗) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑗) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑗) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)))) |
468 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈
ℂ) |
469 | 468, 359 | pncan2d 10273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 +
𝑘) − 1) = 𝑘) |
470 | 469 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶 − 𝑘)) |
471 | 469 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1)) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
472 | 470, 471 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) = ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘))) |
473 | 469 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1)) = (𝑏↑𝑘)) |
474 | 472, 473 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
475 | 474 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − ((1 + 𝑘) − 1)) · (𝐶C𝑐((1 + 𝑘) − 1))) · (𝑏↑((1 + 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
476 | 458, 467,
475 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
477 | 112, 113,
357, 362, 420 | isum1p 14412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = ((((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))) |
478 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0) |
479 | 478 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶 − 𝑘) = (𝐶 − 0)) |
480 | 478 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0)) |
481 | 479, 480 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) = ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0))) |
482 | 478 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑏↑𝑘) = (𝑏↑0)) |
483 | 481, 482 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0))) |
484 | | 0nn0 11184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ 0 ∈
ℕ0 |
485 | 484 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 ∈
ℕ0) |
486 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0))
· (𝑏↑0)) ∈
V |
487 | 486 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) ∈
V) |
488 | 354, 483,
485, 487 | fvmptd 6197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) = (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0))) |
489 | 240 | subid1d 10260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 − 0) = 𝐶) |
490 | 240 | bccn0 37564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶C𝑐0) =
1) |
491 | 489, 490 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = (𝐶 · 1)) |
492 | 491, 241 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) = 𝐶) |
493 | 253 | exp0d 12864 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏↑0) = 1) |
494 | 492, 493 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 − 0) · (𝐶C𝑐0)) · (𝑏↑0)) = (𝐶 · 1)) |
495 | 488, 494,
241 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) = 𝐶) |
496 | 451 | eqcomi 2619 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(ℤ≥‘(0 + 1)) = ℕ |
497 | 496 | sumeq1i 14276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) |
498 | 497 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
499 | 495, 498 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((((𝐸‘𝑏) shift -1)‘0) + Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘(0 + 1))(((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))) |
500 | 476, 477,
499 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))) |
501 | 500 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) = ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)))) |
502 | 244, 245,
358, 363, 424 | isumcl 14334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
503 | 253, 442 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 · Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) ∈
ℂ) |
504 | 447, 503 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
505 | 240, 502,
504 | addassd 9941 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))) |
506 | 449, 501,
505 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ℕ (((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1))) · (𝑏↑𝑘))))) |
507 | 432, 437,
506 | 3eqtr4rd 2655 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)))) |
508 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ) |
509 | 283, 508 | binomcxplemwb 37569 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) = (𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘))) |
510 | 509 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
511 | 510 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) |
512 | 511 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))) |
513 | 512 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((((𝐶 − 𝑘) · (𝐶C𝑐𝑘)) + ((𝐶 − (𝑘 − 1)) · (𝐶C𝑐(𝑘 − 1)))) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)))) |
514 | 369, 252,
256 | mulassd 9942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
515 | 514 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
516 | 244, 245,
248, 257, 262, 240 | isummulc2 14335 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐶 · ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
517 | 515, 516 | eqtr4d 2647 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
518 | 517 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶 · (𝐶C𝑐𝑘)) · (𝑏↑𝑘))) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))) |
519 | 507, 513,
518 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 + (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))) |
520 | 242, 264,
519 | 3eqtr4rd 2655 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))))) |
521 | 8 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))) |
522 | 122 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0
↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) ∈ V) |
523 | 521, 522 | fvmpt2d 6202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑆‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
524 | 119, 523 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑆‘𝑏) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
525 | 125 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ V) |
526 | 524, 525 | fvmpt2d 6202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
527 | 526 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
528 | 71 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈
ℂ) |
529 | 528, 131 | bcccl 37560 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈
ℂ) |
530 | 134, 529 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
531 | 530 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐹‘𝑘) ∈
ℂ) |
532 | 531 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
533 | 532, 255 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) ∈ ℂ) |
534 | 112, 113,
526, 533, 161 | isum1p 14412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = (((𝑆‘𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
535 | 478 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0)) |
536 | 535, 482 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0))) |
537 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) ∈
V |
538 | 537 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) ∈ V) |
539 | 524, 536,
485, 538 | fvmptd 6197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑏)‘0) = ((𝐹‘0) · (𝑏↑0))) |
540 | 72 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))) |
541 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → 𝑗 = 0) |
542 | 541 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐0)) |
543 | 484 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℕ0) |
544 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝐶C𝑐0) ∈
V |
545 | 544 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐0) ∈
V) |
546 | 540, 542,
543, 545 | fvmptd 6197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0)) |
547 | 546 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘0) = (𝐶C𝑐0)) |
548 | 547, 490 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘0) = 1) |
549 | 548, 493 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘0) · (𝑏↑0)) = (1 · 1)) |
550 | 243 | mulid1d 9936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 · 1) =
1) |
551 | 539, 549,
550 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑏)‘0) = 1) |
552 | 496 | sumeq1i 14276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘(0 + 1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) |
553 | 135 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
554 | 246, 553 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
555 | 554 | adantllr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
556 | 555 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
557 | 552, 556 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) |
558 | 551, 557 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝑆‘𝑏)‘0) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
1))((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) |
559 | 527, 534,
558 | 3eqtrrd 2649 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) |
560 | 559 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (1 + Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
561 | 520, 560 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
562 | 240, 162 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ) |
563 | 243, 253 | addcld 9938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑏) ∈ ℂ) |
564 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) |
565 | 244, 245,
564, 426, 397 | isumcl 14334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) |
566 | 243, 253 | subnegd 10278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 − -𝑏) = (1 + 𝑏)) |
567 | 253 | negcld 10258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → -𝑏 ∈ ℂ) |
568 | | elpreima 6245 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (abs Fn
ℂ → (𝑏 ∈
(◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅)))) |
569 | 86, 87, 568 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅))) |
570 | 569 | simprbi 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑏 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅)) |
571 | 570, 2 | eleq2s 2706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅)) |
572 | | elico2 12108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 𝑅
∈ ℝ*) → ((abs‘𝑏) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(abs‘𝑏) ∧
(abs‘𝑏) < 𝑅))) |
573 | 75, 81, 572 | mp2an 704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
((abs‘𝑏)
∈ (0[,)𝑅) ↔
((abs‘𝑏) ∈
ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑏) ∧ (abs‘𝑏) < 𝑅)) |
574 | 573 | simp3bi 1071 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
((abs‘𝑏)
∈ (0[,)𝑅) →
(abs‘𝑏) < 𝑅) |
575 | 571, 574 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑏) < 𝑅) |
576 | 575 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑏) < 𝑅) |
577 | 253 | absnegd 14036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘-𝑏) = (abs‘𝑏)) |
578 | 577 | eqcomd 2616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘𝑏) = (abs‘-𝑏)) |
579 | 73 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑅 = 1) |
580 | 576, 578,
579 | 3brtr3d 4614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘-𝑏) < 1) |
581 | | 1re 9918 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 1 ∈
ℝ |
582 | | abssubne0 13904 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((-𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℝ ∧ (abs‘-𝑏) < 1) → (1 − -𝑏) ≠ 0) |
583 | 581, 582 | mp3an2 1404 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((-𝑏 ∈ ℂ ∧
(abs‘-𝑏) < 1)
→ (1 − -𝑏) ≠
0) |
584 | 567, 580,
583 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 − -𝑏) ≠ 0) |
585 | 566, 584 | eqnetrrd 2850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0) |
586 | 562, 563,
565, 585 | divmuld 10702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) ↔ ((1 + 𝑏) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))) |
587 | 561, 586 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) |
588 | 240, 162,
563, 585 | div23d 10717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) / (1 + 𝑏)) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
589 | 587, 588 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘) = ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
590 | 589 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))) |
591 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ V |
592 | 591 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ V) |
593 | | sumex 14266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ V |
594 | 593 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ V) |
595 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏)))) |
596 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
597 | 103, 23, 185, 592, 594, 595, 596 | offval2f 6807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 ·
𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))) |
598 | 590, 207,
597 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D 𝑃) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 ·
𝑃)) |
599 | 598 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((ℂ D 𝑃)
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 ·
𝑃)
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) |
600 | 226 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 ·
𝑃) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
∘𝑓 · 𝑃)) |
601 | 599, 600 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(((ℂ D 𝑃)
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((ℂ
D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 ·
𝑃)) = ((((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 ·
𝑃)
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
∘𝑓 · 𝑃))) |
602 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) ∈ V |
603 | 602 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) ∈ V) |
604 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ V |
605 | 604 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ V) |
606 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ V |
607 | 606 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ V) |
608 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((1 +
𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ V |
609 | 608 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ V) |
610 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) |
611 | 103, 23, 185, 607, 609, 597, 610 | offval2f 6807 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 ·
𝑃)
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) |
612 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈
V |
613 | 612 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈
V) |
614 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))) |
615 | 103, 23, 185, 613, 594, 614, 596 | offval2f 6807 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
∘𝑓 · 𝑃) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))) |
616 | 103, 23, 185, 603, 605, 611, 615 | offval2f 6807 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (𝐶 / (1 + 𝑏))) ∘𝑓 ·
𝑃)
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 + ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))))
∘𝑓 · 𝑃)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))) |
617 | 239, 601,
616 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))))) |
618 | 240, 563,
585 | divcld 10680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 / (1 + 𝑏)) ∈ ℂ) |
619 | 240 | negcld 10258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ) |
620 | 563, 619 | cxpcld 24254 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ) |
621 | 618, 162,
620 | mul32d 10125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
622 | 240, 563,
620, 585 | div32d 10703 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)))) |
623 | 563, 585,
619, 243 | cxpsubd 24264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1))) |
624 | 563 | cxp1d 24252 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐1) = (1 + 𝑏)) |
625 | 624 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / ((1 + 𝑏)↑𝑐1)) = (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))) |
626 | 623, 625 | eqtr2d 2645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) |
627 | 626 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶) / (1 + 𝑏))) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) |
628 | 622, 627 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) |
629 | 628 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
630 | 621, 629 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
631 | 619, 243 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-𝐶 − 1) ∈ ℂ) |
632 | 563, 631 | cxpcld 24254 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)) ∈
ℂ) |
633 | 240, 632 | mulneg1d 10362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) = -(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1)))) |
634 | 633 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
635 | 240, 632 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ∈
ℂ) |
636 | 635, 162 | mulneg1d 10362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (-(𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
637 | 634, 636 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) = -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) |
638 | 630, 637 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) = (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))) |
639 | 635, 162 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) ∈ ℂ) |
640 | 639 | negidd 10261 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) + -((𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) = 0) |
641 | 638, 640 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘))) = 0) |
642 | 641 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((((𝐶 / (1 + 𝑏)) · Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)) · ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) + ((-𝐶 · ((1 + 𝑏)↑𝑐(-𝐶 − 1))) ·
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘𝑏)‘𝑘)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0)) |
643 | 617, 642 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0)) |
644 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑥0 |
645 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑏 → 0 = 0) |
646 | 24, 23, 4, 644, 645 | cbvmptf 4676 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0) |
647 | 643, 646 | syl6eqr 2662 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0)) |
648 | | c0ex 9913 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 ∈
V |
649 | 648 | snid 4155 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 0 ∈
{0} |
650 | 649 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 0 ∈ {0}) |
651 | 647, 650 | fmpt3d 6293 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))):𝐷⟶{0}) |
652 | | fdm 5964 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((ℂ
D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))):𝐷⟶{0} → dom (ℂ D (𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = 𝐷) |
653 | 651, 652 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → dom
(ℂ D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = 𝐷) |
654 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈
ℂ) |
655 | | 0cnd 9912 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈
ℂ) |
656 | | dvconst 23486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (1 ∈
ℂ → (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ ×
{0})) |
657 | 198, 656 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℂ
D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0}) |
658 | | fconstmpt 5085 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℂ
× {1}) = (𝑥 ∈
ℂ ↦ 1) |
659 | 658 | oveq2i 6560 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℂ
D (ℂ × {1})) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) |
660 | | fconstmpt 5085 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℂ
× {0}) = (𝑥 ∈
ℂ ↦ 0) |
661 | 657, 659,
660 | 3eqtr3i 2640 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℂ
D (𝑥 ∈ ℂ ↦
1)) = (𝑥 ∈ ℂ
↦ 0) |
662 | 661 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑥 ∈ ℂ ↦
1)) = (𝑥 ∈ ℂ
↦ 0)) |
663 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐷 ⊆
ℂ) |
664 | | fvex 6113 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(TopOpen‘ℂfld) ∈ V |
665 | | cnfldtps 22391 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
ℂfld ∈ TopSp |
666 | | cnfldbas 19571 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ℂ =
(Base‘ℂfld) |
667 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) |
668 | 666, 667 | tpsuni 20553 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(ℂfld ∈ TopSp → ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)) |
669 | 665, 668 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ℂ =
∪
(TopOpen‘ℂfld) |
670 | 669 | restid 15917 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ∈ V →
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) =
(TopOpen‘ℂfld)) |
671 | 664, 670 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) =
(TopOpen‘ℂfld) |
672 | 671 | eqcomi 2619 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
ℂ) |
673 | 667 | cnfldtop 22397 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(TopOpen‘ℂfld) ∈ Top |
674 | | cnxmet 22386 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (abs
∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) |
675 | 667 | cnfldtopn 22395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘
− )) |
676 | 675 | blopn 22115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((abs
∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ
∧ 𝑅 ∈
ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈
(TopOpen‘ℂfld)) |
677 | 674, 405,
81, 676 | mp3an 1416 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈
(TopOpen‘ℂfld) |
678 | 98, 677 | eqeltri 2684 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝐷 ∈
(TopOpen‘ℂfld) |
679 | | isopn3i 20696 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈
(TopOpen‘ℂfld)) →
((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷) |
680 | 673, 678,
679 | mp2an 704 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷 |
681 | 680 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐷) = 𝐷) |
682 | 205, 654,
655, 662, 663, 672, 667, 681 | dvmptres2 23531 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0)) |
683 | 194 | oveq2i 6560 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℂ
D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)) |
684 | 682, 683,
646 | 3eqtr3g 2667 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0)) |
685 | 642, 617,
684 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (ℂ
D (𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) = (ℂ D (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1))) |
686 | | 1rp 11712 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 1 ∈
ℝ+ |
687 | 73, 686 | syl6eqel 2696 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈
ℝ+) |
688 | | blcntr 22028 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((abs
∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ
∧ 𝑅 ∈
ℝ+) → 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) |
689 | 674, 405,
688 | mp3an12 1406 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑅 ∈ ℝ+
→ 0 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) |
690 | 687, 689 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈
(0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) |
691 | 690, 98 | syl6eleqr 2699 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈
𝐷) |
692 | | 0zd 11266 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈
ℤ) |
693 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘)) |
694 | | nfv 1830 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑏𝜑 |
695 | 23 | nfel2 2767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑏0 ∈
𝐷 |
696 | 694, 695 | nfan 1816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) |
697 | | nfv 1830 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑏 𝑘 ∈
ℕ0 |
698 | 696, 697 | nfan 1816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) |
699 | 10, 4 | nffv 6110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑏(𝑆‘0) |
700 | 699, 29 | nffv 6110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑏((𝑆‘0)‘𝑘) |
701 | 700 | nfel1 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑏((𝑆‘0)‘𝑘) ∈
ℂ |
702 | 698, 701 | nfim 1813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈
ℂ) |
703 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 = 0 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ 0 ∈ 𝐷)) |
704 | 703 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 = 0 → ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷))) |
705 | 704 | anbi1d 737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑏 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈
ℕ0))) |
706 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 = 0 → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘0)) |
707 | 706 | fveq1d 6105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘)) |
708 | 707 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑏 = 0 → (((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ)) |
709 | 705, 708 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 = 0 → ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑏)‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈
ℂ))) |
710 | 702, 648,
709, 145 | vtoclf 3231 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈
ℂ) |
711 | 691, 710 | syldanl 731 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ ℂ) |
712 | 4, 7, 699 | nfseq 12673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑏seq0(
+ , (𝑆‘0)) |
713 | 712 | nfel1 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑏seq0( + ,
(𝑆‘0)) ∈ dom
⇝ |
714 | 696, 713 | nfim 1813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝
) |
715 | 706 | seqeq3d 12671 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 = 0 → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) = seq0( + , (𝑆‘0))) |
716 | 715 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑏 = 0 → (seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝
)) |
717 | 704, 716 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘𝑏)) ∈ dom ⇝ ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝
))) |
718 | 714, 648,
717, 160 | vtoclf 3231 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘0)) ∈ dom ⇝
) |
719 | 691, 718 | syldan 486 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( +
, (𝑆‘0)) ∈ dom
⇝ ) |
720 | 112, 692,
693, 711, 719 | isum1p 14412 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (((𝑆‘0)‘0) + Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘))) |
721 | 134 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
722 | 721 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
723 | | simplr 788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 0) |
724 | 723 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) = (0↑𝑘)) |
725 | 722, 724 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) |
726 | 725 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = 0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))) |
727 | 121 | mptex 6390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V |
728 | 727 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0
↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) ∈ V) |
729 | 521, 726,
99, 728 | fvmptd 6197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘0) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)))) |
730 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0) |
731 | 730 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶C𝑐𝑘) = (𝐶C𝑐0)) |
732 | 730 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → (0↑𝑘) = (0↑0)) |
733 | 731, 732 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐0) ·
(0↑0))) |
734 | 484 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈
ℕ0) |
735 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐶C𝑐0) ·
(0↑0)) ∈ V |
736 | 735 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) ·
(0↑0)) ∈ V) |
737 | 729, 733,
734, 736 | fvmptd 6197 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) = ((𝐶C𝑐0) ·
(0↑0))) |
738 | 71 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈
ℂ) |
739 | 738 | bccn0 37564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐0) =
1) |
740 | 99 | exp0d 12864 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(0↑0) = 1) |
741 | 739, 740 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐0) ·
(0↑0)) = (1 · 1)) |
742 | | 1t1e1 11052 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (1
· 1) = 1 |
743 | 742 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1
· 1) = 1) |
744 | 737, 741,
743 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘0)‘0) =
1) |
745 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ V |
746 | 745 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ V) |
747 | 729, 746 | fvmpt2d 6202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) |
748 | 246, 747 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘))) |
749 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈
ℕ) |
750 | 749 | 0expd 12886 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) →
(0↑𝑘) =
0) |
751 | 750 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · 0)) |
752 | 529 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ) |
753 | 246, 752 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈
ℂ) |
754 | 753 | mul01d 10114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐶C𝑐𝑘) · 0) =
0) |
755 | 748, 751,
754 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆‘0)‘𝑘) = 0) |
756 | 755 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
Σ𝑘 ∈ ℕ
((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ 0) |
757 | 451 | sumeq1i 14276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Σ𝑘 ∈
ℕ ((𝑆‘0)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 +
1))((𝑆‘0)‘𝑘) |
758 | 244 | eqimssi 3622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ℕ
⊆ (ℤ≥‘1) |
759 | 758 | orci 404 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℕ
⊆ (ℤ≥‘1) ∨ ℕ ∈
Fin) |
760 | | sumz 14300 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ℕ
⊆ (ℤ≥‘1) ∨ ℕ ∈ Fin) →
Σ𝑘 ∈ ℕ 0 =
0) |
761 | 759, 760 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Σ𝑘 ∈
ℕ 0 = 0 |
762 | 756, 757,
761 | 3eqtr3g 2667 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘) = 0) |
763 | 744, 762 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝑆‘0)‘0) +
Σ𝑘 ∈
(ℤ≥‘(0 + 1))((𝑆‘0)‘𝑘)) = (1 + 0)) |
764 | 720, 763 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) = (1 + 0)) |
765 | | 1p0e1 11010 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (1 + 0) =
1 |
766 | 765 | oveq1i 6559 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((1 +
0)↑𝑐-𝐶) = (1↑𝑐-𝐶) |
767 | 738 | negcld 10258 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → -𝐶 ∈
ℂ) |
768 | 767 | 1cxpd 24253 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(1↑𝑐-𝐶) = 1) |
769 | 766, 768 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 +
0)↑𝑐-𝐶) = 1) |
770 | 764, 769 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 +
0)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 0) · 1)) |
771 | 765 | oveq1i 6559 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((1 + 0)
· 1) = (1 · 1) |
772 | 771, 742 | eqtri 2632 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((1 + 0)
· 1) = 1 |
773 | 770, 772 | syl6eq 2660 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 +
0)↑𝑐-𝐶)) = 1) |
774 | | ffn 5958 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑃:𝐷⟶ℂ → 𝑃 Fn 𝐷) |
775 | 164, 774 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 Fn 𝐷) |
776 | | ffn 5958 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶ℂ → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) Fn 𝐷) |
777 | 177, 776 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) Fn 𝐷) |
778 | 37 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘))) |
779 | | simplr 788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ¬
𝐶 ∈
ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 = 0) |
780 | 779 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ ¬
𝐶 ∈
ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘0)) |
781 | 780 | fveq1d 6105 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ¬
𝐶 ∈
ℕ0) ∧ 0 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = ((𝑆‘0)‘𝑘)) |
782 | 781 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘𝑥)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘)) |
783 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → 0 ∈ 𝐷) |
784 | | sumex 14266 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V |
785 | 784 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → Σ𝑘 ∈ ℕ0
((𝑆‘0)‘𝑘) ∈ V) |
786 | 778, 782,
783, 785 | fvmptd 6197 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → (𝑃‘0) = Σ𝑘 ∈ ℕ0
((𝑆‘0)‘𝑘)) |
787 | 176 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶))) |
788 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0) |
789 | 788 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → (1 + 𝑥) = (1 + 0)) |
790 | 789 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) ∧ 𝑥 = 0) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) = ((1 + 0)↑𝑐-𝐶)) |
791 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1 +
0)↑𝑐-𝐶) ∈ V |
792 | 791 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → ((1 +
0)↑𝑐-𝐶) ∈ V) |
793 | 787, 790,
783, 792 | fvmptd 6197 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))‘0) = ((1 +
0)↑𝑐-𝐶)) |
794 | 775, 777,
185, 185, 186, 786, 793 | ofval 6804 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈
𝐷) → ((𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 +
0)↑𝑐-𝐶))) |
795 | 691, 794 | mpdan 699 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆‘0)‘𝑘) · ((1 +
0)↑𝑐-𝐶))) |
796 | 195 | fveq1i 6104 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐷 × {1})‘0) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)‘0) |
797 | 188 | fvconst2 6374 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (0 ∈
𝐷 → ((𝐷 × {1})‘0) =
1) |
798 | 691, 797 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐷 × {1})‘0) =
1) |
799 | 796, 798 | syl5eqr 2658 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)‘0) = 1) |
800 | 773, 795,
799 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))‘0) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)‘0)) |
801 | 98, 99, 100, 187, 203, 653, 685, 691, 800 | dv11cn 23568 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)) |
802 | 801 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) ∘𝑓 /
(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) |
803 | | nfv 1830 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑏(1 + 𝑥) ≠ 0 |
804 | 105, 803 | nfim 1813 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0) |
805 | 174 | neeq1d 2841 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏) ≠ 0 ↔ (1 + 𝑥) ≠ 0)) |
806 | 109, 805 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑏) ≠ 0) ↔ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0))) |
807 | 804, 806,
585 | chvar 2250 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 + 𝑥) ≠ 0) |
808 | 168, 807,
170 | cxpne0d 24259 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0) |
809 | | eldifsn 4260 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((1 +
𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (((1 +
𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ ℂ ∧ ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ≠ 0)) |
810 | 171, 808,
809 | sylanbrc 695 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑥)↑𝑐-𝐶) ∈ (ℂ ∖
{0})) |
811 | 810, 176 | fmptd 6292 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖
{0})) |
812 | | ofdivcan4 37548 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑃:𝐷⟶ℂ ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)):𝐷⟶(ℂ ∖ {0})) →
((𝑃
∘𝑓 · (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃) |
813 | 185, 164,
811, 812 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑃 ∘𝑓
· (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) ∘𝑓 / (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = 𝑃) |
814 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1)) |
815 | 103, 23, 185, 243, 620, 814, 610 | offval2f 6807 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1) ∘𝑓 /
(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) |
816 | 802, 813,
815 | 3eqtr3d 2652 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)))) |
817 | 563, 585,
619 | cxpnegd 24261 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) |
818 | 240 | negnegd 10262 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → --𝐶 = 𝐶) |
819 | 818 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((1 + 𝑏)↑𝑐--𝐶) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)) |
820 | 817, 819 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶)) = ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)) |
821 | 820 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (1 / ((1 + 𝑏)↑𝑐-𝐶))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))) |
822 | 816, 821 | eqtrd 2644 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶))) |
823 | | nfcv 2751 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥((1 +
𝑏)↑𝑐𝐶) |
824 | | nfcv 2751 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑏((1 +
𝑥)↑𝑐𝐶) |
825 | 174 | oveq1d 6564 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶) = ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)) |
826 | 23, 24, 823, 824, 825 | cbvmptf 4676 |
. . . . . 6
⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑏)↑𝑐𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶)) |
827 | 822, 826 | syl6eq 2660 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶))) |
828 | | simpr 476 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) |
829 | 828 | oveq2d 6565 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → (1 + 𝑥) = (1 + (𝐵 / 𝐴))) |
830 | 829 | oveq1d 6564 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴)) → ((1 + 𝑥)↑𝑐𝐶) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶)) |
831 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ∈
ℂ) |
832 | 831, 60 | addcld 9938 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 +
(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ) |
833 | 832, 738 | cxpcld 24254 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 +
(𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) ∈
ℂ) |
834 | 827, 830,
91, 833 | fvmptd 6197 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑃‘(𝐵 / 𝐴)) = ((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶)) |
835 | 721 | adantlr 747 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘)) |
836 | | simplr 788 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) |
837 | 836 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) = ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) |
838 | 835, 837 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) |
839 | 838 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 = (𝐵 / 𝐴)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))) |
840 | 121 | mptex 6390 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈ ℕ0
↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V |
841 | 840 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0
↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) ∈ V) |
842 | 521, 839,
60, 841 | fvmptd 6197 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑆‘(𝐵 / 𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)))) |
843 | | ovex 6577 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ V |
844 | 843 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ V) |
845 | 842, 844 | fvmpt2d 6202 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) |
846 | 845 | sumeq2dv 14281 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝑆‘(𝐵 / 𝐴))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) |
847 | 94, 834, 846 | 3eqtr3d 2652 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 +
(𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘))) |
848 | 847 | oveq1d 6564 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 +
(𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶))) |
849 | 43, 46 | rerpdivcld 11779 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ) |
850 | 849 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ) |
851 | 66, 850 | readdcld 9948 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1 +
(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ) |
852 | | df-neg 10148 |
. . . . . . 7
⊢ -(𝐵 / 𝐴) = (0 − (𝐵 / 𝐴)) |
853 | 849 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) |
854 | 853 | negcld 10258 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) |
855 | 854 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ) |
856 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
857 | 853 | absnegd 14036 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = (abs‘(𝐵 / 𝐴))) |
858 | 46 | rpne0d 11753 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0) |
859 | 44, 47, 858 | absdivd 14042 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴))) |
860 | 857, 859 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴))) |
861 | 44 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈
ℝ) |
862 | 686 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ+) |
863 | 47, 858 | absrpcld 14035 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈
ℝ+) |
864 | 861 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈
ℂ) |
865 | 864 | div1d 10672 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) = (abs‘𝐵)) |
866 | 865, 53 | eqbrtrd 4605 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) / 1) < (abs‘𝐴)) |
867 | 861, 862,
863, 866 | ltdiv23d 11813 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) < 1) |
868 | 860, 867 | eqbrtrd 4605 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) < 1) |
869 | 855, 856,
868 | ltled 10064 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1) |
870 | 849 | renegcld 10336 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ) |
871 | 870, 856 | absled 14017 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((abs‘-(𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1))) |
872 | 869, 871 | mpbid 221 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (-1 ≤ -(𝐵 / 𝐴) ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1)) |
873 | 872 | simprd 478 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → -(𝐵 / 𝐴) ≤ 1) |
874 | 852, 873 | syl5eqbrr 4619 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1) |
875 | | 0red 9920 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
876 | 875, 849,
856 | lesubaddd 10503 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((0 − (𝐵 / 𝐴)) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴)))) |
877 | 874, 876 | mpbid 221 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 + (𝐵 / 𝐴))) |
878 | 877 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤
(1 + (𝐵 / 𝐴))) |
879 | 46 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈
ℝ+) |
880 | 879 | rpred 11748 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈
ℝ) |
881 | 879 | rpge0d 11752 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ≤
𝐴) |
882 | 851, 878,
880, 881, 738 | mulcxpd 24274 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 +
(𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = (((1 + (𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴↑𝑐𝐶))) |
883 | 831, 60, 48 | adddird 9944 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 +
(𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴))) |
884 | 48 | mulid2d 9937 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (1
· 𝐴) = 𝐴) |
885 | 45, 48, 59 | divcan1d 10681 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴) = 𝐵) |
886 | 884, 885 | oveq12d 6567 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1
· 𝐴) + ((𝐵 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐵)) |
887 | 883, 886 | eqtrd 2644 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((1 +
(𝐵 / 𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)) |
888 | 887 | oveq1d 6564 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 +
(𝐵 / 𝐴)) · 𝐴)↑𝑐𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) |
889 | 882, 888 | eqtr3d 2646 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((1 +
(𝐵 / 𝐴))↑𝑐𝐶) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶)) |
890 | 60 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐵 / 𝐴) ∈
ℂ) |
891 | | simpr 476 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝑘 ∈
ℕ0) |
892 | 890, 891 | expcld 12870 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ) |
893 | 752, 892 | mulcld 9939 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) ∈ ℂ) |
894 | 46, 43, 53, 71, 72, 8, 6, 157, 2 | binomcxplemcvg 37575 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → (seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + ,
(𝐸‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ )) |
895 | 894 | simpld 474 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ 𝐷) → seq0( + , (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ) |
896 | 91, 895 | syldan 486 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → seq0( +
, (𝑆‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ dom ⇝ ) |
897 | 48, 738 | cxpcld 24254 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐶) ∈
ℂ) |
898 | 112, 692,
845, 893, 896, 897 | isummulc1 14336 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶))) |
899 | 44 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝐵 ∈
ℂ) |
900 | 47 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝐴 ∈
ℂ) |
901 | 858 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝐴 ≠
0) |
902 | 899, 900,
901 | divrecd 10683 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐵 / 𝐴) = (𝐵 · (1 / 𝐴))) |
903 | 902 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵 · (1 / 𝐴))↑𝑘)) |
904 | 900, 901 | reccld 10673 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (1 / 𝐴) ∈
ℂ) |
905 | 899, 904,
891 | mulexpd 12885 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐵 · (1 /
𝐴))↑𝑘) = ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) |
906 | 903, 905 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘) = ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) |
907 | 906 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))) |
908 | 899, 891 | expcld 12870 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐵↑𝑘) ∈
ℂ) |
909 | 904, 891 | expcld 12870 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈
ℂ) |
910 | 752, 908,
909 | mulassd 9942 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵↑𝑘) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))) |
911 | 907, 910 | eqtr4d 2647 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) |
912 | 911 | oveq1d 6564 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶))) |
913 | 752, 908 | mulcld 9939 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ) |
914 | 897 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑐𝐶) ∈ ℂ) |
915 | 913, 909,
914 | mul32d 10125 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) |
916 | 913, 914,
909 | mulassd 9942 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))) |
917 | 912, 915,
916 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)))) |
918 | 891 | nn0cnd 11230 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝑘 ∈
ℂ) |
919 | 900, 918 | cxpcld 24254 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑐𝑘) ∈ ℂ) |
920 | 900, 901,
918 | cxpne0d 24259 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑐𝑘) ≠ 0) |
921 | 914, 919,
920 | divrecd 10683 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴↑𝑐𝐶) / (𝐴↑𝑐𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐶) · (1 / (𝐴↑𝑐𝑘)))) |
922 | 71 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝐶 ∈
ℂ) |
923 | 900, 901,
922, 918 | cxpsubd 24264 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐶) / (𝐴↑𝑐𝑘))) |
924 | 891 | nn0zd 11356 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ 𝑘 ∈
ℤ) |
925 | 900, 901,
924 | exprecd 12878 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴↑𝑘))) |
926 | | cxpexp 24214 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑘)) |
927 | 900, 891,
926 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑘)) |
928 | 927 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (1 / (𝐴↑𝑐𝑘)) = (1 / (𝐴↑𝑘))) |
929 | 925, 928 | eqtr4d 2647 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (1 / (𝐴↑𝑐𝑘))) |
930 | 929 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐶) · (1 / (𝐴↑𝑐𝑘)))) |
931 | 921, 923,
930 | 3eqtr4rd 2655 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘)) = (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) |
932 | 931 | oveq2d 6565 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · ((𝐴↑𝑐𝐶) · ((1 / 𝐴)↑𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)))) |
933 | 922, 918 | subcld 10271 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐶 − 𝑘) ∈
ℂ) |
934 | 900, 933 | cxpcld 24254 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) ∈ ℂ) |
935 | 752, 908,
934 | mul32d 10125 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐵↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) · (𝐵↑𝑘))) |
936 | 917, 932,
935 | 3eqtrd 2648 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) · (𝐵↑𝑘))) |
937 | 752, 934,
908 | mulassd 9942 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · (𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘))) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) |
938 | 936, 937 | eqtrd 2644 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) |
939 | 938 | sumeq2dv 14281 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
Σ𝑘 ∈
ℕ0 (((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) |
940 | 898, 939 | eqtrd 2644 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) →
(Σ𝑘 ∈
ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐵 / 𝐴)↑𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) |
941 | 848, 889,
940 | 3eqtr3d 2652 |
1
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴↑𝑐(𝐶 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) |