Theorem binomcxplemradcnv 37573

Description: Lemma for binomcxp 37578. By binomcxplemfrat 37572 and radcnvrat 37535 the radius of convergence of power series Σ𝑘 ∈ ℕ₀((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) is one. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemradcnv	⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝑏,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗   𝑆,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑏)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)

Proof of Theorem binomcxplemradcnv

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
2		simpl 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥)
3	2	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) = (𝑥↑𝑘))
4	3	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
5	4	mpteq2dva 4672	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
6		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑦))
7		oveq2 6557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑥↑𝑘) = (𝑥↑𝑦))
8	6, 7	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝑥↑𝑦)))
9	8	cbvmptv 4678	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑦) · (𝑥↑𝑦)))
10	5, 9	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑦) · (𝑥↑𝑦))))
11	10	cbvmptv 4678	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑦) · (𝑥↑𝑦))))
12	1, 11	eqtri 2632	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑦) · (𝑥↑𝑦))))
13		binomcxp.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13	ad2antrr 758	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
15		simpr 476	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
16	14, 15	bcccl 37560	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ ℂ)
17		binomcxplem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
18	16, 17	fmptd 6292	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
19		binomcxplem.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1))
21	20	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
22		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
23	21, 22	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹‘𝑖)))
24	23	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) = (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹‘𝑖))))
25	24	cbvmptv 4678	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹‘𝑖))))
26		nn0uz 11598	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
27		0nn0 11184	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
29	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
30		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → 𝑗 = 𝑖)
31	30	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑖))
32		simpr 476	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
33		ovex 6577	. . . . . 6 ⊢ (𝐶C𝑐𝑖) ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ∈ V)
35	29, 31, 32, 34	fvmptd 6197	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑖) = (𝐶C𝑐𝑖))
36		elfznn0 12302	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
37	36	con3i 149	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
38	37	ad2antlr 759	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
39	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
40		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
41	39, 40	bcc0 37561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
42	41	necon3abid 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
43	42	adantlr 747	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
44	38, 43	mpbird 246	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0)
45	35, 44	eqnetrd 2849	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
46		binomcxp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
47		binomcxp.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
48		binomcxp.lt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
49	46, 47, 48, 13, 17	binomcxplemfrat 37572	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) ⇝ 1)
50		ax-1ne0 9884	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
51	50	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ≠ 0)
52	12, 18, 19, 25, 26, 28, 45, 49, 51	radcnvrat 37535	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (1 / 1))
53		1div1e1 10596	. 2 ⊢ (1 / 1) = 1
54	52, 53	syl6eq 2660	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕ₀cn0 11169  ℝ⁺crp 11708  ...cfz 12197  seqcseq 12663  ↑cexp 12722  abscabs 13822   ⇝ cli 14063  C_𝑐cbcc 37557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-fallfac 14577  df-bcc 37558

This theorem is referenced by:  binomcxplemdvbinom  37574  binomcxplemnotnn0  37577