MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldbas 19571
Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldbas ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas
StepHypRef Expression
1 cnex 9896 . 2 ℂ ∈ V
2 cnfldstr 19569 . . 3 fld Struct ⟨1, 13⟩
3 baseid 15747 . . 3 Base = Slot (Base‘ndx)
4 snsstp1 4287 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5 ssun1 3738 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6 ssun1 3738 . . . . . 6 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7 df-cnfld 19568 . . . . . 6 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
86, 7sseqtr4i 3601 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
95, 8sstri 3577 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
104, 9sstri 3577 . . 3 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
112, 3, 10strfv 15735 . 2 (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
121, 11ax-mp 5 1 ℂ = (Base‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  cun 3538  {csn 4125  {ctp 4129  cop 4131  ccom 5042  cfv 5804  cc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cle 9954  cmin 10145  3c3 10948  cdc 11369  ccj 13684  abscabs 13822  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  *𝑟cstv 15770  TopSetcts 15774  lecple 15775  distcds 15777  UnifSetcunif 15778  MetOpencmopn 19557  metUnifcmetu 19558  fldccnfld 19567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-cnfld 19568
This theorem is referenced by:  cncrng  19586  cnfld0  19589  cnfld1  19590  cnfldneg  19591  cnfldplusf  19592  cnfldsub  19593  cndrng  19594  cnflddiv  19595  cnfldinv  19596  cnfldmulg  19597  cnfldexp  19598  cnsrng  19599  cnsubmlem  19613  cnsubglem  19614  cnsubrglem  19615  cnsubdrglem  19616  absabv  19622  cnsubrg  19625  cnmgpabl  19626  cnmgpid  19627  cnmsubglem  19628  gzrngunit  19631  gsumfsum  19632  regsumfsum  19633  expmhm  19634  nn0srg  19635  rge0srg  19636  zringbas  19643  zring0  19647  zringunit  19655  expghm  19663  cnmsgnbas  19743  psgninv  19747  zrhpsgnmhm  19749  rebase  19771  re0g  19777  regsumsupp  19787  cnfldms  22389  cnfldnm  22392  cnfldtopn  22395  cnfldtopon  22396  clmsscn  22687  cnlmod  22748  cnstrcvs  22749  cnrbas  22750  cncvs  22753  cnncvsaddassdemo  22771  cnncvsmulassdemo  22772  cnncvsabsnegdemo  22773  cphsubrglem  22785  cphreccllem  22786  cphdivcl  22790  cphabscl  22793  cphsqrtcl2  22794  cphsqrtcl3  22795  cphipcl  22799  4cphipval2  22849  cncms  22959  cnflduss  22960  cnfldcusp  22961  resscdrg  22962  ishl2  22974  recms  22976  tdeglem3  23623  tdeglem4  23624  tdeglem2  23625  plypf1  23772  dvply2g  23844  dvply2  23845  dvnply  23847  taylfvallem  23916  taylf  23919  tayl0  23920  taylpfval  23923  taylply2  23926  taylply  23927  efgh  24091  efabl  24100  efsubm  24101  jensenlem1  24513  jensenlem2  24514  jensen  24515  amgmlem  24516  amgm  24517  wilthlem2  24595  wilthlem3  24596  dchrelbas2  24762  dchrelbas3  24763  dchrn0  24775  dchrghm  24781  dchrabs  24785  sum2dchr  24799  lgseisenlem4  24903  qrngbas  25108  cchhllem  25567  xrge0slmod  29175  psgnid  29178  iistmd  29276  xrge0iifmhm  29313  xrge0pluscn  29314  zringnm  29332  cnzh  29342  rezh  29343  cnrrext  29382  esumpfinvallem  29463  cnpwstotbnd  32766  repwsmet  32803  rrnequiv  32804  cnsrexpcl  36754  fsumcnsrcl  36755  cnsrplycl  36756  rngunsnply  36762  proot1ex  36798  deg1mhm  36804  amgm2d  37523  amgm3d  37524  amgm4d  37525  binomcxplemdvbinom  37574  binomcxplemnotnn0  37577  sge0tsms  39273  cnfldsrngbas  41559  2zrng0  41728  aacllem  42356  amgmwlem  42357  amgmlemALT  42358  amgmw2d  42359
  Copyright terms: Public domain W3C validator