Theorem exp0d 12864

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp0d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Proof of Theorem exp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp0 12726	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-neg 10148  df-z 11255  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  12944  faclbnd4lem4  12945  faclbnd6  12948  hashmap  13082  absexp  13892  binom  14401  geoser  14438  cvgrat  14454  efexp  14670  prmdvdsexpr  15267  rpexp1i  15271  phiprm  15320  odzdvds  15338  pclem  15381  pcpre1  15385  pcexp  15402  dvdsprmpweqnn  15427  prmpwdvds  15446  pgp0  17834  sylow2alem2  17856  ablfac1eu  18295  pgpfac1lem3a  18298  plyeq0lem  23770  plyco  23801  vieta1  23871  abelthlem9  23998  advlogexp  24201  cxpmul2  24235  nnlogbexp  24319  ftalem5  24603  0sgm  24670  1sgmprm  24724  dchrptlem2  24790  bposlem5  24813  lgsval2lem  24832  lgsmod  24848  lgsdilem2  24858  lgsne0  24860  chebbnd1lem1  24958  dchrisum0flblem1  24997  qabvexp  25115  ostth2lem2  25123  ostth3  25127  nexple  29399  faclim  30885  faclim2  30887  knoppndvlem14  31686  mzpexpmpt  36326  pell14qrexpclnn0  36448  pellfund14  36480  rmxy0  36506  jm2.17a  36545  jm2.17b  36546  jm2.18  36573  jm2.23  36581  expdioph  36608  cnsrexpcl  36754  binomcxplemnotnn0  37577  dvnxpaek  38832  wallispilem2  38959  etransclem24  39151  etransclem25  39152  etransclem35  39162  pwdif  40039  lighneallem3  40062  lighneallem4  40065  rusgrnumwwlk  41178  altgsumbcALT  41924  expnegico01  42102  digexp  42199  dig1  42200