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Theorem abelthlem9 23998
Description: Lemma for abelth 23999. By adjusting the constant term, we can assume that the entire series converges to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
Assertion
Ref Expression
abelthlem9 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧,𝑀   𝑅,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑦   𝑆,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem9
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2 0nn0 11184 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
4 ffvelrn 6265 . . . . . . 7 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
51, 3, 4syl2an 493 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
6 nn0uz 11598 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
7 0zd 11266 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8 eqidd 2611 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑚))
91ffvelrnda 6267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
10 abelth.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
116, 7, 8, 9, 10isumcl 14334 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
1211adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
135, 12subcld 10271 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) ∈ ℂ)
141ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1513, 14ifcld 4081 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
16 eqid 2610 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))
1715, 16fmptd 6292 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))):ℕ0⟶ℂ)
182a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
1917ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
20 1e0p1 11428 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
21 1z 11284 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
2220, 21eqeltrri 2685 . . . . . . . . 9 (0 + 1) ∈ ℤ
2322a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
24 nnuz 11599 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
2520fveq2i 6106 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
2624, 25eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
2726eleq2i 2680 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℕ ↔ 𝑖 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
28 nnnn0 11176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
30 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑖 = 0))
31 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑖))
3230, 31ifbieq2d 4061 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)))
33 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) ∈ V
34 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑖) ∈ V
3533, 34ifex 4106 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) ∈ V
3632, 16, 35fvmpt 6191 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)))
3729, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)))
38 nnne0 10930 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ≠ 0)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ≠ 0)
4039neneqd 2787 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ¬ 𝑖 = 0)
4140iffalsed 4047 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
4237, 41eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) = (𝐴𝑖))
4327, 42sylan2br 492 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) = (𝐴𝑖))
4423, 43seqfeq 12688 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , 𝐴))
456, 7, 8, 9, 10isumclim2 14331 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))
466, 18, 14, 45clim2ser 14233 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , 𝐴) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (seq0( + , 𝐴)‘0)))
47 0z 11265 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
48 seq1 12676 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (seq0( + , 𝐴)‘0) = (𝐴‘0))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (seq0( + , 𝐴)‘0) = (𝐴‘0)
5049oveq2i 6560 . . . . . . . 8 𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (seq0( + , 𝐴)‘0)) = (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0))
5146, 50syl6breq 4624 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , 𝐴) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)))
5244, 51eqbrtrd 4605 . . . . . 6 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)))
536, 18, 19, 52clim2ser2 14234 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ⇝ ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))))‘0)))
54 seq1 12676 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘0))
5547, 54ax-mp 5 . . . . . . . 8 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘0)
56 iftrue 4042 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
5756, 16, 33fvmpt 6191 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
582, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))
5955, 58eqtri 2632 . . . . . . 7 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))
6059oveq2i 6560 . . . . . 6 ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))))‘0)) = ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
611, 2, 4sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
62 npncan2 10187 . . . . . . 7 ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘0) ∈ ℂ) → ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))) = 0)
6311, 61, 62syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))) = 0)
6460, 63syl5eq 2656 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))))‘0)) = 0)
6553, 64breqtrd 4609 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ⇝ 0)
66 seqex 12665 . . . . 5 seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ∈ V
67 c0ex 9913 . . . . 5 0 ∈ V
6866, 67breldm 5251 . . . 4 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ⇝ 0 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
6965, 68syl 17 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
70 abelth.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
71 abelth.4 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
72 abelth.5 . . 3 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
73 eqid 2610 . . 3 (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖))) = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))
7417, 69, 70, 71, 72, 73, 65abelthlem8 23997 . 2 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅))
751, 10, 70, 71, 72abelthlem2 23990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
7675simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 1 ∈ 𝑆)
7836adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)))
79 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (𝑥𝑖) = (1↑𝑖))
80 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ)
81 1exp 12751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℕ0 → (1↑𝑖) = 1)
8379, 82sylan9eq 2664 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑖) = 1)
8478, 83oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1))
8584sumeq2dv 14281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1))
86 sumex 14266 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1) ∈ V
8785, 73, 86fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ 𝑆 → ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1))
8877, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1))
89 0zd 11266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 0 ∈ ℤ)
9036adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)))
9161, 11subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) ∈ ℂ)
9291ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) ∈ ℂ)
931ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
9493adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
9592, 94ifcld 4081 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
9695mulid1d 9936 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)))
9790, 96eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1))
9896, 95eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1) ∈ ℂ)
99 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 1 → (𝑥𝑛) = (1↑𝑛))
100 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
101 1exp 12751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
10399, 102sylan9eq 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑛) = 1)
104103oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑛) · 1))
105104sumeq2dv 14281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · 1))
106 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑚))
107106oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴𝑛) · 1) = ((𝐴𝑚) · 1))
108107cbvsumv 14274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · 1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑚) · 1)
109105, 108syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑚) · 1))
110 abelth.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
111 sumex 14266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑚) · 1) ∈ V
112109, 110, 111fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ 𝑆 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑚) · 1))
11376, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑚) · 1))
1149mulid1d 9936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑚) · 1) = (𝐴𝑚))
115114sumeq2dv 14281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑚) · 1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))
116113, 115eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))
117116oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) = (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
11811subidd 10259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) = 0)
119117, 118eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) = 0)
12065, 119breqtrrd 4611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
1226, 89, 97, 98, 121isumclim 14330 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1) = ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
12388, 122eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) = ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
124 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑖) = (𝑦𝑖))
12536, 124oveqan12rd 6569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑦𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
126125sumeq2dv 14281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
127 sumex 14266 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)) ∈ V
128126, 73, 127fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑆 → ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
129128adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
130 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑖 → (𝑦𝑘) = (𝑦𝑖))
13132, 130oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
132 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))
133 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)) ∈ V
134131, 132, 133fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
135134adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
136 ssrab2 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))} ⊆ ℂ
13772, 136eqsstri 3598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 ⊆ ℂ
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
139138sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
140 expcl 12740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
141139, 140sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
14295, 141mulcld 9939 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)) ∈ ℂ)
1432a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → 0 ∈ ℕ0)
14415adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
145 expcl 12740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
146139, 145sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
147144, 146mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)) ∈ ℂ)
148147, 132fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))):ℕ0⟶ℂ)
149148ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
15041oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
15129, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
15231, 130oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
153 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))
154 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)) ∈ V
155152, 153, 154fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
15629, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
157150, 151, 1563eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘𝑖))
15827, 157sylan2br 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘𝑖))
15923, 158seqfeq 12688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))))
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))))
16114adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
162161, 146mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)) ∈ ℂ)
163162, 153fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))):ℕ0⟶ℂ)
164163ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
165155adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
16694, 141mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)) ∈ ℂ)
1671, 10, 70, 71, 72abelthlem3 23991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
1686, 89, 165, 166, 167isumclim2 14331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))) ⇝ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
169 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑖))
170 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑖))
171169, 170oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑖 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)))
172171cbvsumv 14274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖))
173124oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
174173sumeq2sdv 14282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
175172, 174syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
176 sumex 14266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)) ∈ V
177175, 110, 176fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑆 → (𝐹𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
178177adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐹𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
179168, 178breqtrrd 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))) ⇝ (𝐹𝑦))
1806, 143, 164, 179clim2ser 14233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))) ⇝ ((𝐹𝑦) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))))‘0)))
181 seq1 12676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘0))
18247, 181ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘0)
183 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 0 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘0))
184 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 0 → (𝑦𝑘) = (𝑦↑0))
185183, 184oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 0 → ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)))
186 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) ∈ V
187185, 153, 186fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)))
1882, 187ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0))
189182, 188eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0))
190139exp0d 12864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑦↑0) = 1)
191190oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) = ((𝐴‘0) · 1))
19261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
193192mulid1d 9936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) = (𝐴‘0))
194191, 193eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) = (𝐴‘0))
195189, 194syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝑆) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))))‘0) = (𝐴‘0))
196195oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝐹𝑦) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))))‘0)) = ((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)))
197180, 196breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))) ⇝ ((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)))
198160, 197eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ⇝ ((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)))
1996, 143, 149, 198clim2ser2 14234 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ⇝ (((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))))‘0)))
200 seq1 12676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘0))
20147, 200ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘0)
20256, 184oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 0 → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · (𝑦↑0)))
203 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · (𝑦↑0)) ∈ V
204202, 132, 203fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · (𝑦↑0)))
2052, 204ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · (𝑦↑0))
206201, 205eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · (𝑦↑0))
207190oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · (𝑦↑0)) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · 1))
20811adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑆) → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
209192, 208subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) ∈ ℂ)
210209mulid1d 9936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · 1) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
211207, 210eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · (𝑦↑0)) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
212206, 211syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
213212oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))))‘0)) = (((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))))
2141, 10, 70, 71, 72, 110abelthlem4 23992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
215214ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
216215, 192, 208npncand 10295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))) = ((𝐹𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
217213, 216eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))))‘0)) = ((𝐹𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
218199, 217breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ⇝ ((𝐹𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
2196, 89, 135, 142, 218isumclim 14330 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)) = ((𝐹𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
220129, 219eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦) = ((𝐹𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
221123, 220oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦)) = (((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) − ((𝐹𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))))
222214adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
223222, 77ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
224223, 215, 208nnncan2d 10306 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) − ((𝐹𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))) = ((𝐹‘1) − (𝐹𝑦)))
225221, 224eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦)) = ((𝐹‘1) − (𝐹𝑦)))
226225fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘(((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦))) = (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))))
227226breq1d 4593 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘(((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅 ↔ (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
228227imbi2d 329 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅)))
229228ralbidva 2968 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∀𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅)))
230229rexbidv 3034 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅)))
231230adantr 480 . 2 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅)))
23274, 231mpbid 221 1 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  cdif 3537  wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583  cmpt 4643  dom cdm 5038  ccom 5042  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  +crp 11708  seqcseq 12663  cexp 12722  abscabs 13822  cli 14063  Σcsu 14264  ballcbl 19554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562
This theorem is referenced by:  abelth  23999
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