MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp0d Structured version   Unicode version

Theorem exp0d 12272
Description: Value of a complex number raised to the 0th power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
exp0d  |-  ( ph  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )

Proof of Theorem exp0d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 exp0 12138 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493   ^cexp 12134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-neg 9808  df-z 10865  df-seq 12076  df-exp 12135
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  12341  faclbnd4lem4  12342  faclbnd6  12345  hashmap  12459  absexp  13100  binom  13605  geoser  13641  cvgrat  13655  efexp  13697  prmdvdsexpr  14116  rpexp1i  14121  phiprm  14166  odzdvds  14181  pclem  14221  pcpre1  14225  pcexp  14242  prmpwdvds  14281  pgp0  16422  sylow2alem2  16444  ablfac1eu  16926  pgpfac1lem3a  16929  plyeq0lem  22370  plyco  22401  vieta1  22470  abelthlem9  22597  advlogexp  22792  cxpmul2  22826  ftalem5  23106  0sgm  23174  1sgmprm  23230  dchrptlem2  23296  bposlem5  23319  lgsval2lem  23337  lgsmod  23352  lgsdilem2  23362  lgsne0  23364  chebbnd1lem1  23410  dchrisum0flblem1  23449  qabvexp  23567  ostth2lem2  23575  ostth3  23579  nexple  27673  nnlogbexp  27688  faclim  28776  faclim2  28778  mzpexpmpt  30309  pell14qrexpclnn0  30434  pellfund14  30466  rmxy0  30491  jm2.17a  30530  jm2.17b  30531  jm2.18  30562  jm2.23  30570  expdioph  30597  cnsrexpcl  30747  wallispilem2  31394  altgsumbcALT  32038
  Copyright terms: Public domain W3C validator