MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp0d Structured version   Unicode version

Theorem exp0d 12407
Description: Value of a complex number raised to the 0th power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
exp0d  |-  ( ph  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )

Proof of Theorem exp0d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 exp0 12273 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539   ^cexp 12269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-neg 9862  df-z 10938  df-seq 12211  df-exp 12270
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem3  12477  faclbnd4lem4  12478  faclbnd6  12481  hashmap  12602  absexp  13346  binom  13866  geoser  13903  cvgrat  13917  efexp  14133  prmdvdsexpr  14640  rpexp1i  14644  phiprm  14694  odzdvds  14709  pclem  14751  pcpre1  14755  pcexp  14772  prmpwdvds  14811  pgp0  17183  sylow2alem2  17205  ablfac1eu  17641  pgpfac1lem3a  17644  plyeq0lem  23032  plyco  23063  vieta1  23133  abelthlem9  23260  advlogexp  23465  cxpmul2  23499  nnlogbexp  23583  ftalem5  23866  0sgm  23934  1sgmprm  23990  dchrptlem2  24056  bposlem5  24079  lgsval2lem  24097  lgsmod  24112  lgsdilem2  24122  lgsne0  24124  chebbnd1lem1  24170  dchrisum0flblem1  24209  qabvexp  24327  ostth2lem2  24335  ostth3  24339  nexple  28670  faclim  30169  faclim2  30171  mzpexpmpt  35296  pell14qrexpclnn0  35420  pellfund14  35452  rmxy0  35477  jm2.17a  35516  jm2.17b  35517  jm2.18  35549  jm2.23  35557  expdioph  35584  cnsrexpcl  35730  binomcxplemnotnn0  36342  dvnxpaek  37386  wallispilem2  37497  etransclem24  37690  etransclem25  37691  etransclem35  37701  altgsumbcALT  38894  expnegico01  39075  digexp  39179  dig1  39180
  Copyright terms: Public domain W3C validator