Theorem mzpexpmpt 36326

Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpexpmpt	⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐷

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem mzpexpmpt

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑0))
2	1	mpteq2dv 4673	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑0)))
3	2	eleq1d 2672	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
4	3	imbi2d 329	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
5		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑏))
6	5	mpteq2dv 4673	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)))
7	6	eleq1d 2672	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
8	7	imbi2d 329	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
9		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
10	9	mpteq2dv 4673	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))))
11	10	eleq1d 2672	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
12	11	imbi2d 329	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
13		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝐷))
14	13	mpteq2dv 4673	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)))
15	14	eleq1d 2672	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
16	15	imbi2d 329	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑎)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
17		mzpf 36317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
18		zsscn 11262	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
19		fss 5969	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℂ)
20	17, 18, 19	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℂ)
21		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴)
22	21	fmpt 6289	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℂ)
23	20, 22	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → ∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ)
24		nfra1 2925	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ
25		rspa 2914	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	exp0d 12864	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝐴↑0) = 1)
27	24, 26	mpteq2da 4671	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 1))
28	23, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 1))
29		elfvex 6131	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
30		1z 11284	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
31		mzpconstmpt 36321	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
32	29, 30, 31	sylancl 693	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘𝑉))
33	28, 32	eqeltrd 2688	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑0)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
34	23	3ad2ant2 1076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ)
35		simp1 1054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
36		nfv 1830	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ ℕ0
37	24, 36	nfan 1816	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)
38	25	adantlr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		simplr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
40	38, 39	expp1d 12871	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) · 𝐴))
41	37, 40	mpteq2da 4671	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)))
42	34, 35, 41	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)))
43		simp3 1056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
44		simp2 1055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉))
45		mzpmulmpt 36323	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
46	43, 44, 45	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
47	42, 46	eqeltrd 2688	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))
48	47	3exp 1256	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
49	48	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝑏)) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑(𝑏 + 1))) ∈ (mzPoly‘𝑉))))
50	4, 8, 12, 16, 33, 49	nn0ind 11348	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉)))
51	50	impcom 445	1 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝐴↑𝐷)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ↑cexp 12722  mzPolycmzp 36303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723  df-mzpcl 36304  df-mzp 36305

This theorem is referenced by:  diophin  36354  rmydioph  36599  rmxdioph  36601  expdiophlem2  36607