Theorem mzpindd 36327

Description: "Structural" induction to prove properties of all polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mzpindd.co	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
mzpindd.pr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
mzpindd.ad	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
mzpindd.mu	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
mzpindd.1	⊢ (𝑥 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓 ↔ 𝜒))
mzpindd.2	⊢ (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝜓 ↔ 𝜃))
mzpindd.3	⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝜓 ↔ 𝜏))
mzpindd.4	⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝜓 ↔ 𝜂))
mzpindd.5	⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜁))
mzpindd.6	⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜎))
mzpindd.7	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜌))

Assertion

Ref	Expression
mzpindd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑓,𝑔   𝜓,𝑓,𝑔   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜁,𝑥   𝜎,𝑥   𝜌,𝑥   𝑥,𝑉,𝑓,𝑔   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑓,𝑔)   𝜃(𝑓,𝑔)   𝜏(𝑓,𝑔)   𝜂(𝑓,𝑔)   𝜁(𝑓,𝑔)   𝜎(𝑓,𝑔)   𝜌(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mzpindd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6131	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
3		mzpval 36313	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
5		ssrab2 3650	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉))
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
7		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V
8		zex 11263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℤ ∈ V
9	7, 8	constmap 36294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
11		mzpindd.co	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
12		mzpindd.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓 ↔ 𝜒))
13	12	elrab 3331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜒))
14	10, 11, 13	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
15	14	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
17	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → ℤ ∈ V)
18		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
19		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
20		elmapg 7757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝑔:𝑉⟶ℤ))
21	20	biimpa 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
22	17, 18, 19, 21	syl21anc 1317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
23		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑓 ∈ 𝑉)
24	22, 23	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
25		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓))
26	24, 25	fmptd 6292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
27	8, 7	elmap 7772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
28	26, 27	sylibr 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
29		mzpindd.pr	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
30	29	adantlr 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
31		mzpindd.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝜓 ↔ 𝜃))
32	31	elrab 3331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜃))
33	28, 30, 32	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
34	33	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
35	16, 34	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))
36		zaddcl 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
38		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
39		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
40	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V)
41		inidm 3784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∩ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) = (ℤ ↑𝑚 𝑉)
42	37, 38, 39, 40, 40, 41	off 6810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
43	42	ad2ant2r 779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
45		mzpindd.ad	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
46	45	3expb 1258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜁)
47	44, 46	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
48		zmulcl 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
50	49, 38, 39, 40, 40, 41	off 6810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
51	50	ad2ant2r 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
53		mzpindd.mu	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
54	53	3expb 1258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜎)
55	47, 52, 54	jca32 556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
56	55	ex 449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))))
57	8, 7	elmap 7772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
58	57	anbi1i 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ↔ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏))
59	8, 7	elmap 7772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
60	59	anbi1i 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂) ↔ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))
61	58, 60	anbi12i 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂)) ↔ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)))
62	8, 7	elmap 7772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
63	62	anbi1i 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ↔ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
64	8, 7	elmap 7772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
65	64	anbi1i 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎) ↔ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))
66	63, 65	anbi12i 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎)) ↔ (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
67	56, 61, 66	3imtr4g 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂)) → (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎))))
68		mzpindd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝜓 ↔ 𝜏))
69	68	elrab 3331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏))
70		mzpindd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝜓 ↔ 𝜂))
71	70	elrab 3331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂))
72	69, 71	anbi12i 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂)))
73		mzpindd.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜁))
74	73	elrab 3331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁))
75		mzpindd.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜎))
76	75	elrab 3331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎))
77	74, 76	anbi12i 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎)))
78	67, 72, 77	3imtr4g 284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})))
79	78	ralrimivv 2953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))
80	79	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))
81	6, 35, 80	jca32 556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))))
82		elmzpcl 36307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
83	82	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
84	81, 83	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
85		intss1 4427	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
86	84, 85	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
87	4, 86	eqsstrd 3602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
88	87	sselda 3568	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
89	88	an32s 842	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
90	2, 89	mpdan 699	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
91		mzpindd.7	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜌))
92	91	elrab 3331	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜌))
93	92	simprbi 479	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} → 𝜌)
94	90, 93	syl 17	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ∩ cint 4410   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793   ↑_𝑚 cmap 7744   + caddc 9818   · cmul 9820  ℤcz 11254  mzPolyCldcmzpcl 36302  mzPolycmzp 36303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-mzpcl 36304  df-mzp 36305

This theorem is referenced by:  mzpmfp  36328  mzpsubst  36329  mzpcompact2lem  36332  mzpcong  36557