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Theorem mzpexpmpt 29228
Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpexpmpt  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  D  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Distinct variable groups:    x, V    x, D
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem mzpexpmpt
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6207 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ 0 ) )
21mpteq2dv 4486 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) ) )
32eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
0 ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
43imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
5 oveq2 6207 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ b
) )
65mpteq2dv 4486 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ b ) ) )
76eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
b ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
87imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
9 oveq2 6207 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )
109mpteq2dv 4486 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ ( b  +  1 ) ) ) )
1110eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
( b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
1211imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ ( b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
13 oveq2 6207 . . . . . 6  |-  ( a  =  D  ->  ( A ^ a )  =  ( A ^ D
) )
1413mpteq2dv 4486 . . . . 5  |-  ( a  =  D  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ a ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  ( A ^ D ) ) )
1514eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( a  =  D  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V )  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V )
) )
1615imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  D  ->  (
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ a
) )  e.  (mzPoly `  V ) )  <->  ( (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
17 mzpf 29219 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> ZZ )
18 zsscn 10764 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  CC
19 fss 5674 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  V ) --> ZZ  /\  ZZ  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A ) : ( ZZ  ^m  V ) --> CC )
2017, 18, 19sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  V ) --> CC )
21 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )
2221fmpt 5972 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  <->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A ) : ( ZZ  ^m  V
) --> CC )
2320, 22sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC )
24 nfra1 2809 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC
25 rsp 2892 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  ->  A  e.  CC ) )
2625imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  CC )
2726exp0d 12118 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  -> 
( A ^ 0 )  =  1 )
2824, 27mpteq2da 4484 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( A ^
0 ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  1 ) )
2923, 28syl 16 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  1 ) )
30 elfvex 5825 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  V  e.  _V )
31 1z 10786 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32 mzpconstmpt 29223 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  1 )  e.  (mzPoly `  V ) )
3330, 31, 32sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  V ) )
3429, 33eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ 0 ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
35233ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  ->  A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC )
36 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
b  e.  NN0 )
37 nfv 1674 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  b  e.  NN0
3824, 37nfan 1866 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )
3926adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  A  e.  CC )
40 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  b  e.  NN0 )
4139, 40expp1d 12125 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V
) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  /\  x  e.  ( ZZ  ^m  V ) )  ->  ( A ^
( b  +  1 ) )  =  ( ( A ^ b
)  x.  A ) )
4238, 41mpteq2da 4484 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( ZZ  ^m  V ) A  e.  CC  /\  b  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( ( A ^ b
)  x.  A ) ) )
4335, 36, 42syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( ( A ^ b
)  x.  A ) ) )
44 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ b
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
45 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V ) )
46 mzpmulmpt 29225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ b
) )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( ( A ^
b )  x.  A
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
4744, 45, 46syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( ( A ^
b )  x.  A
) )  e.  (mzPoly `  V ) )
4843, 47eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
49483exp 1187 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ b
) )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ ( b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
5049a2d 26 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ b ) )  e.  (mzPoly `  V ) )  -> 
( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( A ^ (
b  +  1 ) ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) ) )
514, 8, 12, 16, 34, 50nn0ind 10848 . 2  |-  ( D  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  A )  e.  (mzPoly `  V )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) ) )
5251impcom 430 1  |-  ( ( ( x  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  V )  /\  D  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( A ^ D ) )  e.  (mzPoly `  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   _Vcvv 3076    C_ wss 3435    |-> cmpt 4457   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    ^m cmap 7323   CCcc 9390   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395    x. cmul 9397   NN0cn0 10689   ZZcz 10756   ^cexp 11981  mzPolycmzp 29205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-seq 11923  df-exp 11982  df-mzpcl 29206  df-mzp 29207
This theorem is referenced by:  diophin  29258  rmydioph  29510  rmxdioph  29512  expdiophlem2  29518
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