Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpexpmpt Structured version   Unicode version

Theorem mzpexpmpt 30281
 Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpexpmpt mzPoly mzPoly
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem mzpexpmpt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6290 . . . . . 6
21mpteq2dv 4534 . . . . 5
32eleq1d 2536 . . . 4 mzPoly mzPoly
43imbi2d 316 . . 3 mzPoly mzPoly mzPoly mzPoly
5 oveq2 6290 . . . . . 6
65mpteq2dv 4534 . . . . 5
76eleq1d 2536 . . . 4 mzPoly mzPoly
87imbi2d 316 . . 3 mzPoly mzPoly mzPoly mzPoly
9 oveq2 6290 . . . . . 6
109mpteq2dv 4534 . . . . 5
1110eleq1d 2536 . . . 4 mzPoly mzPoly
1211imbi2d 316 . . 3 mzPoly mzPoly mzPoly mzPoly
13 oveq2 6290 . . . . . 6
1413mpteq2dv 4534 . . . . 5
1514eleq1d 2536 . . . 4 mzPoly mzPoly
1615imbi2d 316 . . 3 mzPoly mzPoly mzPoly mzPoly
17 mzpf 30272 . . . . . . 7 mzPoly
18 zsscn 10868 . . . . . . 7
19 fss 5737 . . . . . . 7
2017, 18, 19sylancl 662 . . . . . 6 mzPoly
21 eqid 2467 . . . . . . 7
2221fmpt 6040 . . . . . 6
2320, 22sylibr 212 . . . . 5 mzPoly
24 nfra1 2845 . . . . . 6
25 rsp 2830 . . . . . . . 8
2625imp 429 . . . . . . 7
2726exp0d 12268 . . . . . 6
2824, 27mpteq2da 4532 . . . . 5
2923, 28syl 16 . . . 4 mzPoly
30 elfvex 5891 . . . . 5 mzPoly
31 1z 10890 . . . . 5
32 mzpconstmpt 30276 . . . . 5 mzPoly
3330, 31, 32sylancl 662 . . . 4 mzPoly mzPoly
3429, 33eqeltrd 2555 . . 3 mzPoly mzPoly
35233ad2ant2 1018 . . . . . . 7 mzPoly mzPoly
36 simp1 996 . . . . . . 7 mzPoly mzPoly
37 nfv 1683 . . . . . . . . 9
3824, 37nfan 1875 . . . . . . . 8
3926adantlr 714 . . . . . . . . 9
40 simplr 754 . . . . . . . . 9
4139, 40expp1d 12275 . . . . . . . 8
4238, 41mpteq2da 4532 . . . . . . 7
4335, 36, 42syl2anc 661 . . . . . 6 mzPoly mzPoly
44 simp3 998 . . . . . . 7 mzPoly mzPoly mzPoly
45 simp2 997 . . . . . . 7 mzPoly mzPoly mzPoly
46 mzpmulmpt 30278 . . . . . . 7 mzPoly mzPoly mzPoly
4744, 45, 46syl2anc 661 . . . . . 6 mzPoly mzPoly mzPoly
4843, 47eqeltrd 2555 . . . . 5 mzPoly mzPoly mzPoly
49483exp 1195 . . . 4 mzPoly mzPoly mzPoly
5049a2d 26 . . 3 mzPoly mzPoly mzPoly mzPoly
514, 8, 12, 16, 34, 50nn0ind 10953 . 2 mzPoly mzPoly
5251impcom 430 1 mzPoly mzPoly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  cvv 3113   wss 3476   cmpt 4505  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282   cmap 7417  cc 9486  cc0 9488  c1 9489   caddc 9491   cmul 9493  cn0 10791  cz 10860  cexp 12130  mzPolycmzp 30258 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-seq 12072  df-exp 12131  df-mzpcl 30259  df-mzp 30260 This theorem is referenced by:  diophin  30310  rmydioph  30560  rmxdioph  30562  expdiophlem2  30568
 Copyright terms: Public domain W3C validator