Theorem elfvex 6131

Description: If a function value has a member, the argument is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfvex	⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem elfvex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
2		elex 3185	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝐹 → 𝐵 ∈ V)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  dom cdm 5038  ‘cfv 5804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4717  ax-pow 4769

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fv 5812

This theorem is referenced by:  elfvexd  6132  fviss  6166  fiin  8211  elharval  8351  elfzp12  12288  ismre  16073  ismri  16114  isacs  16135  oppccofval  16199  gexid  17819  efgrcl  17951  islss  18756  thlle  19860  islbs4  19990  istopon  20540  fgval  21484  fgcl  21492  ufilen  21544  ustssxp  21818  ustbasel  21820  ustincl  21821  ustdiag  21822  ustinvel  21823  ustexhalf  21824  ustfilxp  21826  ustbas2  21839  trust  21843  utopval  21846  elutop  21847  restutop  21851  ustuqtop5  21859  isucn  21892  psmetdmdm  21920  psmetf  21921  psmet0  21923  psmettri2  21924  psmetres2  21929  ismet2  21948  xmetpsmet  21963  metustfbas  22172  metust  22173  iscmet  22890  ulmscl  23937  1vgrex  25679  metidval  29261  pstmval  29266  pstmxmet  29268  issiga  29501  insiga  29527  mvrsval  30656  mrsubcv  30661  mrsubccat  30669  mppsval  30723  topdifinffinlem  32371  istotbnd  32738  isbnd  32749  ismrc  36282  isnacs  36285  mzpcl1  36310  mzpcl2  36311  mzpf  36317  mzpadd  36319  mzpmul  36320  mzpsubmpt  36324  mzpnegmpt  36325  mzpexpmpt  36326  mzpindd  36327  mzpsubst  36329  mzpcompact2  36333  mzpcong  36557  uvtxaisvtx  40615  vtxnbuvtx  40617  uvtxanbgrvtx  40619  uvtxnbgr  40627  1wlkcompim  40836  usgr2wlkspth  40965  clwlk1wlk  40982  clWlkcompim  40987  wwlkbp  41043  21wlkdlem7  41139  clwwlkbp  41191  31wlkdlem7  41333  clintop  41634  assintop  41635  clintopcllaw  41637  assintopcllaw  41638  assintopass  41640