Theorem discr 12863

Description: If a quadratic polynomial with real coefficients is nonnegative for all values, then its discriminant is nonpositive. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
discr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
discr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
discr.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
discr.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
discr	⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem discr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discr.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resqcl 12793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
5	4	recnd 9947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
6		4re 10974	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
7		discr.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		discr.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	8, 10	remulcld 9949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
12		remulcl 9900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
13	6, 11, 12	sylancr 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
14	13	recnd 9947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
15		4pos 10993	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
16	6, 15	elrpii 11711	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ+
17		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
18	8, 17	elrpd 11745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
19		rpmulcl 11731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ+)
20	16, 18, 19	sylancr 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ∈ ℝ+)
21	20	rpcnd 11750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ∈ ℂ)
22	20	rpne0d 11753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) ≠ 0)
23	5, 14, 21, 22	divsubdird 10719	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴))))
24	11	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
25	8	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		4cn 10975	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 4 ∈ ℂ)
28	18	rpne0d 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
29		4ne0 10994	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 4 ≠ 0)
31	24, 25, 27, 28, 30	divcan5d 10706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐶) / 𝐴))
32	10	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
33	32, 25, 28	divcan3d 10685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐶) / 𝐴) = 𝐶)
34	31, 33	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴)) = 𝐶)
35	34	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((4 · (𝐴 · 𝐶)) / (4 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶))
36	23, 35	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶))
37	4, 20	rerpdivcld 11779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ∈ ℝ)
38	37	recnd 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ∈ ℂ)
39	38	2timesd 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))))
40		2t2e4 11054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 2) = 4
41	40	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 2) · 𝐴) = (4 · 𝐴)
42		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
43	42, 42, 25	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
44	41, 43	syl5eqr 2658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
45	44	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (4 · 𝐴)) = ((2 · (𝐵↑2)) / (2 · (2 · 𝐴))))
46	42, 5, 21, 22	divassd 10715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (4 · 𝐴)) = (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))))
47		2rp 11713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
48		rpmulcl 11731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
49	47, 18, 48	sylancr 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
50	49	rpcnd 11750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
51	49	rpne0d 11753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
52		2ne0 10990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 2 ≠ 0)
54	5, 50, 42, 51, 53	divcan5d 10706	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · (𝐵↑2)) / (2 · (2 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
55	45, 46, 54	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (2 · ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
56	39, 55	eqtr3d 2646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) = ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
57	2, 49	rerpdivcld 11779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
58	57	renegcld 10336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → -(𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
59		discr.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
60	59	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
62		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝑥↑2) = (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
63	62	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)))
64		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))))
65	63, 64	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))))
66	65	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶))
67	66	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -(𝐵 / (2 · 𝐴)) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶)))
68	67	rspcv 3278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-(𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) → 0 ≤ (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶)))
69	58, 61, 68	sylc 63	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶))
70	57	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
71		sqneg 12785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2))
73	2	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
74		sqdiv 12790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0) → ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)))
75	73, 50, 51, 74	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)))
76		sqval 12784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)))
77	50, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)))
78	50, 42, 25	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) · (2 · 𝐴)))
79	42, 25, 42	mul32d 10125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) · 2) = ((2 · 2) · 𝐴))
80	79, 41	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) · 2) = (4 · 𝐴))
81	80	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((2 · 𝐴) · 2) · 𝐴) = ((4 · 𝐴) · 𝐴))
82	77, 78, 81	3eqtr2d 2650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((2 · 𝐴)↑2) = ((4 · 𝐴) · 𝐴))
83	82	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / ((2 · 𝐴)↑2)) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)))
84	72, 75, 83	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)))
85	5, 21, 25, 22, 28	divdiv1d 10711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴) = ((𝐵↑2) / ((4 · 𝐴) · 𝐴)))
86	84, 85	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴))
87	86	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = (𝐴 · (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴)))
88	38, 25, 28	divcan2d 10682	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) / 𝐴)) = ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)))
89	87, 88	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) = ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)))
90	73, 70	mulneg2d 10363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = -(𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
91		sqval 12784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
92	73, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
93	92	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = ((𝐵 · 𝐵) / (2 · 𝐴)))
94	73, 73, 50, 51	divassd 10715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵 · 𝐵) / (2 · 𝐴)) = (𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
95	93, 94	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = (𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
96	95	negeqd 10154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) = -(𝐵 · (𝐵 / (2 · 𝐴))))
97	90, 96	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴))) = -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)))
98	89, 97	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
99	4, 49	rerpdivcld 11779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
100	99	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
101	38, 100	negsubd 10277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + -((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
102	98, 101	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) = (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
103	102	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
104	38, 32, 100	addsubd 10292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
105	103, 104	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐴 · (-(𝐵 / (2 · 𝐴))↑2)) + (𝐵 · -(𝐵 / (2 · 𝐴)))) + 𝐶) = ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
106	69, 105	breqtrd 4609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))))
107	37, 10	readdcld 9948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) ∈ ℝ)
108	107, 99	subge0d 10496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶) − ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴))) ↔ ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶)))
109	106, 108	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (2 · 𝐴)) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶))
110	56, 109	eqbrtrd 4605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶))
111	37, 10, 37	leadd2d 10501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶 ↔ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴))) ≤ (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) + 𝐶)))
112	110, 111	mpbird 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶)
113	37, 10	suble0d 10497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶) ≤ 0 ↔ ((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) ≤ 𝐶))
114	112, 113	mpbird 246	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) / (4 · 𝐴)) − 𝐶) ≤ 0)
115	36, 114	eqbrtrd 4605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) ≤ 0)
116	4, 13	resubcld 10337	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
117		0red 9920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
118	116, 117, 20	ledivmuld 11801	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) / (4 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ ((4 · 𝐴) · 0)))
119	115, 118	mpbid 221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ ((4 · 𝐴) · 0))
120	21	mul01d 10114	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((4 · 𝐴) · 0) = 0)
121	119, 120	breqtrd 4609	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
122	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
123	122	ltp1d 10833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 < (𝐶 + 1))
124		peano2re 10088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
125	122, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 + 1) ∈ ℝ)
126	122, 125	ltnegd 10484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 < (𝐶 + 1) ↔ -(𝐶 + 1) < -𝐶))
127	123, 126	mpbid 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) < -𝐶)
128		df-neg 10148	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝐶 = (0 − 𝐶)
129	127, 128	syl6breq 4624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) < (0 − 𝐶))
130	125	renegcld 10336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) ∈ ℝ)
131		0red 9920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 ∈ ℝ)
132	130, 122, 131	ltaddsubd 10506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0 ↔ -(𝐶 + 1) < (0 − 𝐶)))
133	129, 132	mpbird 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0)
134	133	expr 641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
135	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
136		simprr 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
137	130, 135, 136	redivcld 10732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
138	60	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
139		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝑥↑2) = ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2))
140	139	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)))
141		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵)))
142	140, 141	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))))
143	142	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶))
144	143	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (-(𝐶 + 1) / 𝐵) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶)))
145	144	rspcv 3278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) → 0 ≤ (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶)))
146	137, 138, 145	sylc 63	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 ≤ (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶))
147		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 = 𝐴)
148	147	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)))
149	137	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℂ)
150		sqcl 12787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-(𝐶 + 1) / 𝐵) ∈ ℂ → ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
151	149, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
152	151	mul02d 10113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = 0)
153	148, 152	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) = 0)
154	130	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → -(𝐶 + 1) ∈ ℂ)
155	135	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
156	154, 155, 136	divcan2d 10682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵)) = -(𝐶 + 1))
157	153, 156	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) = (0 + -(𝐶 + 1)))
158	154	addid2d 10116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 + -(𝐶 + 1)) = -(𝐶 + 1))
159	157, 158	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) = -(𝐶 + 1))
160	159	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴 · ((-(𝐶 + 1) / 𝐵)↑2)) + (𝐵 · (-(𝐶 + 1) / 𝐵))) + 𝐶) = (-(𝐶 + 1) + 𝐶))
161	146, 160	breqtrd 4609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶))
162		0re 9919	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
163	130, 122	readdcld 9948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ∈ ℝ)
164		lenlt 9995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ∈ ℝ) → (0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ↔ ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
165	162, 163, 164	sylancr 694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) ↔ ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
166	161, 165	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0)
167	166	expr 641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 ≠ 0 → ¬ (-(𝐶 + 1) + 𝐶) < 0))
168	134, 167	pm2.65d 186	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ¬ 𝐵 ≠ 0)
169		nne 2786	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0)
170	168, 169	sylib 207	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 = 0)
171	170	sq0id 12819	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵↑2) = 0)
172		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
173	172	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
174	9	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
175	174	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
176	175	mul02d 10113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · 𝐶) = 0)
177	173, 176	eqtr3d 2646	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) = 0)
178	177	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) = (4 · 0))
179	26	mul01i 10105	. . . . 5 ⊢ (4 · 0) = 0
180	178, 179	syl6eq 2660	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) = 0)
181	171, 180	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) = (0 − 0))
182		0m0e0 11007	. . . 4 ⊢ (0 − 0) = 0
183		0le0 10987	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
184	182, 183	eqbrtri 4604	. . 3 ⊢ (0 − 0) ≤ 0
185	181, 184	syl6eqbr 4622	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
186		eqid 2610	. . . 4 ⊢ if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1) = if(1 ≤ (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), (((𝐵 + if(0 ≤ 𝐶, 𝐶, 0)) + 1) / -𝐴), 1)
187	7, 1, 9, 59, 186	discr1 12862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
188		leloe 10003	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
189	162, 7, 188	sylancr 694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
190	187, 189	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
191	121, 185, 190	mpjaodan 823	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ifcif 4036   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  4c4 10949  ℝ⁺crp 11708  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  csbren  22990  normlem6  27356