Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1eu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1eu 18295
 Description: The factorization of ablfac1b 18292 is unique, in that any other factorization into prime power factors (even if the exponents are different) must be equal to 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)}
ablfac1.2 (𝜑𝐷𝐴)
ablfac1eu.1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
ablfac1eu.2 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
ablfac1eu.3 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
ablfac1eu.4 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
Assertion
Ref Expression
ablfac1eu (𝜑𝑇 = 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑞,𝑥   𝜑,𝑝,𝑞,𝑤,𝑥   𝑆,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝑂,𝑝,𝑞,𝑥   𝑇,𝑞,𝑥   𝐺,𝑝,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝑇(𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1eu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1eu.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
21simpld 474 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
3 ablfac1eu.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
42, 3dprdf2 18229 . . 3 (𝜑𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
54ffnd 5959 . 2 (𝜑𝑇 Fn 𝐴)
6 ablfac1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 ablfac1.o . . . . 5 𝑂 = (od‘𝐺)
8 ablfac1.s . . . . 5 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
9 ablfac1.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
10 ablfac1.f . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
11 ablfac1.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
126, 7, 8, 9, 10, 11ablfac1b 18292 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
13 fvex 6113 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
146, 13eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
1514rabex 4740 . . . . . 6 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))} ∈ V
1615, 8dmmpti 5936 . . . . 5 dom 𝑆 = 𝐴
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
1812, 17dprdf2 18229 . . 3 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
1918ffnd 5959 . 2 (𝜑𝑆 Fn 𝐴)
2010adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2118ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
226subgss 17418 . . . . 5 ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑞) ⊆ 𝐵)
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ⊆ 𝐵)
2420, 23ssfid 8068 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ Fin)
254ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
266subgss 17418 . . . . . 6 ((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑇𝑞) ⊆ 𝐵)
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ⊆ 𝐵)
2825adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2920, 27ssfid 8068 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ∈ Fin)
3029adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑇𝑞) ∈ Fin)
31 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → 𝑥 ∈ (𝑇𝑞))
327odsubdvds 17809 . . . . . . 7 (((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑞) ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∥ (#‘(𝑇𝑞)))
3328, 30, 31, 32syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∥ (#‘(𝑇𝑞)))
34 ablfac1eu.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
3511sselda 3568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℙ)
36 prmz 15227 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℤ)
38 ablfac1eu.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
3938nn0zd 11356 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
40 ablgrp 18021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
419, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
426grpbn0 17274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
44 hashnncl 13018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ Fin → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
4510, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
4643, 45mpbird 246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
4835, 47pccld 15393 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℕ0)
4948nn0zd 11356 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℤ)
506lagsubg 17479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝑇𝑞)) ∥ (#‘𝐵))
5125, 20, 50syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) ∥ (#‘𝐵))
5234, 51eqbrtrrd 4607 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝐶) ∥ (#‘𝐵))
5347nnzd 11357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
54 pcdvdsb 15411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ↔ (𝑞𝐶) ∥ (#‘𝐵)))
5535, 53, 38, 54syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ↔ (𝑞𝐶) ∥ (#‘𝐵)))
5652, 55mpbird 246 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)))
57 eluz2 11569 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
5839, 49, 56, 57syl3anbrc 1239 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐶))
59 dvdsexp 14887 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑞𝐶) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
6037, 38, 58, 59syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝐶) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
6134, 60eqbrtrd 4605 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
6261adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (#‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
6327sselda 3568 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → 𝑥𝐵)
646, 7odcl 17778 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
6665nn0zd 11356 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∈ ℤ)
67 hashcl 13009 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑞) ∈ Fin → (#‘(𝑇𝑞)) ∈ ℕ0)
6829, 67syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) ∈ ℕ0)
6968nn0zd 11356 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ)
7069adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (#‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ)
71 prmnn 15226 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
7235, 71syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℕ)
7372, 48nnexpcld 12892 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ)
7473nnzd 11357 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℤ)
7574adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℤ)
76 dvdstr 14856 . . . . . . 7 (((𝑂𝑥) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℤ) → (((𝑂𝑥) ∥ (#‘(𝑇𝑞)) ∧ (#‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))))
7766, 70, 75, 76syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (((𝑂𝑥) ∥ (#‘(𝑇𝑞)) ∧ (#‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))))
7833, 62, 77mp2and 711 . . . . 5 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
7927, 78ssrabdv 3644 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))})
80 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑞𝑝 = 𝑞)
81 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 pCnt (#‘𝐵)) = (𝑞 pCnt (#‘𝐵)))
8280, 81oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵))) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
8382breq2d 4595 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵))) ↔ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))))
8483rabbidv 3164 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))})
8584, 8, 15fvmpt3i 6196 . . . . 5 (𝑞𝐴 → (𝑆𝑞) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))})
8685adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))})
8779, 86sseqtr4d 3605 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ⊆ (𝑆𝑞))
8873nnnn0d 11228 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ0)
89 pcdvds 15406 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘𝐵))
9035, 47, 89syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘𝐵))
912adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd 𝑇)
923adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → dom 𝑇 = 𝐴)
93 ablfac1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷𝐴)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐷𝐴)
9591, 92, 94dprdres 18250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
9695simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd (𝑇𝐷))
974adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
9897, 94fssresd 5984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
99 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
101 difssd 3700 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐷 ∖ {𝑞}) ⊆ 𝐷)
10296, 100, 101dprdres 18250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷))))
103102simpld 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))
104 dprdsubg 18246 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1066lagsubg 17479 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (#‘𝐵))
107105, 20, 106syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (#‘𝐵))
108 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝐺) = (0g𝐺)
109108subg0cl 17425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
110105, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
111 ne0i 3880 . . . . . . . . . . . . 13 ((0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅)
1136dprdssv 18238 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ 𝐵
114 ssfi 8065 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin)
11520, 113, 114sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin)
116 hashnncl 13018 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin → ((#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → ((#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅))
118112, 117mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ)
119118nnzd 11357 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ)
120 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑞𝑥 = 𝑞)
121 sneq 4135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑞 → {𝑥} = {𝑞})
122121difeq2d 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑞 → (𝐷 ∖ {𝑥}) = (𝐷 ∖ {𝑞}))
123122reseq2d 5317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑞 → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})) = ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))
124123oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑞 → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥}))) = (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
125124fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑞 → (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) = (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
126120, 125breq12d 4596 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) ↔ 𝑞 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
127126notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑞 → (¬ 𝑥 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) ↔ ¬ 𝑞 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
128 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝𝐷 ↦ {𝑦𝐵 ∣ (𝑂𝑦) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))}) = (𝑝𝐷 ↦ {𝑦𝐵 ∣ (𝑂𝑦) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
1299adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
13010adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ Fin)
131 ablfac1c.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)}
132 ssrab2 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)} ⊆ ℙ
133131, 132eqsstri 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 ⊆ ℙ
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷 ⊆ ℙ)
135 ssid 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷𝐷
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷𝐷)
1372, 3, 93dprdres 18250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
138137simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇𝐷))
139 dprdsubg 18246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
141 difssd 3700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴)
1422, 3, 141dprdres 18250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
143142simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))
144 dprdsubg 18246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
146 difss 3699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴
147 fssres 5983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴) → (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)):(𝐴𝐷)⟶(SubGrp‘𝐺))
1484, 146, 147sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)):(𝐴𝐷)⟶(SubGrp‘𝐺))
149 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷)):(𝐴𝐷)⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) = (𝐴𝐷))
150148, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) = (𝐴𝐷))
151 fvres 6117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 ∈ (𝐴𝐷) → ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷))‘𝑞) = (𝑇𝑞))
152151adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴𝐷)) → ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷))‘𝑞) = (𝑇𝑞))
153 eldif 3550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 ∈ (𝐴𝐷) ↔ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷))
15429adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑇𝑞) ∈ Fin)
155108subg0cl 17425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝑇𝑞))
15625, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑞𝐴) → (0g𝐺) ∈ (𝑇𝑞))
157156snssd 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑞𝐴) → {(0g𝐺)} ⊆ (𝑇𝑞))
158157adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} ⊆ (𝑇𝑞))
15934adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (#‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
16035adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℙ)
161 iddvdsexp 14843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (𝑞𝐶))
16237, 161sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (𝑞𝐶))
16352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝑞𝐶) ∥ (#‘𝐵))
16434, 69eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝐶) ∈ ℤ)
165 dvdstr 14856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞𝐶) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℤ) → ((𝑞 ∥ (𝑞𝐶) ∧ (𝑞𝐶) ∥ (#‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (#‘𝐵)))
16637, 164, 53, 165syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞 ∥ (𝑞𝐶) ∧ (𝑞𝐶) ∥ (#‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (#‘𝐵)))
167166adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑞 ∥ (𝑞𝐶) ∧ (𝑞𝐶) ∥ (#‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (#‘𝐵)))
168162, 163, 167mp2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (#‘𝐵))
169 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑤 = 𝑞 → (𝑤 ∥ (#‘𝐵) ↔ 𝑞 ∥ (#‘𝐵)))
170169, 131elrab2 3333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑞𝐷 ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (#‘𝐵)))
171160, 168, 170sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞𝐷)
172171ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐶 ∈ ℕ → 𝑞𝐷))
173172con3d 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑞𝐴) → (¬ 𝑞𝐷 → ¬ 𝐶 ∈ ℕ))
174173impr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ¬ 𝐶 ∈ ℕ)
17538adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
176 elnn0 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐶 ∈ ℕ0 ↔ (𝐶 ∈ ℕ ∨ 𝐶 = 0))
177175, 176sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐶 ∈ ℕ ∨ 𝐶 = 0))
178177ord 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (¬ 𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 = 0))
179174, 178mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝐶 = 0)
180179oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑞𝐶) = (𝑞↑0))
18172adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝑞 ∈ ℕ)
182181nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝑞 ∈ ℂ)
183182exp0d 12864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑞↑0) = 1)
184159, 180, 1833eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (#‘(𝑇𝑞)) = 1)
185 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0g𝐺) ∈ V
186 hashsng 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0g𝐺) ∈ V → (#‘{(0g𝐺)}) = 1)
187185, 186ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (#‘{(0g𝐺)}) = 1
188184, 187syl6reqr 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (#‘{(0g𝐺)}) = (#‘(𝑇𝑞)))
189 snfi 7923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {(0g𝐺)} ∈ Fin
190 hashen 12997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (({(0g𝐺)} ∈ Fin ∧ (𝑇𝑞) ∈ Fin) → ((#‘{(0g𝐺)}) = (#‘(𝑇𝑞)) ↔ {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞)))
191189, 154, 190sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ((#‘{(0g𝐺)}) = (#‘(𝑇𝑞)) ↔ {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞)))
192188, 191mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞))
193 fisseneq 8056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑇𝑞) ∈ Fin ∧ {(0g𝐺)} ⊆ (𝑇𝑞) ∧ {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞)) → {(0g𝐺)} = (𝑇𝑞))
194154, 158, 192, 193syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} = (𝑇𝑞))
195108subg0cl 17425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
196140, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
197196adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
198197snssd 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
199194, 198eqsstr3d 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑇𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
200153, 199sylan2b 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴𝐷)) → (𝑇𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
201152, 200eqsstrd 3602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴𝐷)) → ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷))‘𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
202143, 150, 140, 201dprdlub 18248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
203 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
204203lsmss2 17904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷))) → ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))) = (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
205140, 145, 202, 204syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))) = (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
206 disjdif 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∩ (𝐴𝐷)) = ∅
207206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐷 ∩ (𝐴𝐷)) = ∅)
208 undif2 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∪ (𝐴𝐷)) = (𝐷𝐴)
209 ssequn1 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐷𝐴 ↔ (𝐷𝐴) = 𝐴)
21093, 209sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐷𝐴) = 𝐴)
211208, 210syl5req 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 = (𝐷 ∪ (𝐴𝐷)))
2124, 207, 211, 203, 2dprdsplit 18270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))))
2131simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵)
214212, 213eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))) = 𝐵)
215205, 214eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵)
216138, 215jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵))
217216adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵))
2184, 93fssresd 5984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑇𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
219218, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
220219adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
22193sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐷) → 𝑞𝐴)
222221, 38syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑞𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
223222adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
224 fvres 6117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞𝐷 → ((𝑇𝐷)‘𝑞) = (𝑇𝑞))
225224adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐷) → ((𝑇𝐷)‘𝑞) = (𝑇𝑞))
226225fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐷) → (#‘((𝑇𝐷)‘𝑞)) = (#‘(𝑇𝑞)))
227221, 34syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐷) → (#‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
228226, 227eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑞𝐷) → (#‘((𝑇𝐷)‘𝑞)) = (𝑞𝐶))
229228adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝐷) → (#‘((𝑇𝐷)‘𝑞)) = (𝑞𝐶))
230 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℙ)
231 fzfid 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1...(#‘𝐵)) ∈ Fin)
232 prmnn 15226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℕ)
2332323ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)) → 𝑤 ∈ ℕ)
234 prmz 15227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℤ)
235 dvdsle 14870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑤 ∥ (#‘𝐵) → 𝑤 ≤ (#‘𝐵)))
236234, 46, 235syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ) → (𝑤 ∥ (#‘𝐵) → 𝑤 ≤ (#‘𝐵)))
2372363impia 1253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)) → 𝑤 ≤ (#‘𝐵))
23846nnzd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
2392383ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)) → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
240 fznn 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝐵) ∈ ℤ → (𝑤 ∈ (1...(#‘𝐵)) ↔ (𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ≤ (#‘𝐵))))
241239, 240syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)) → (𝑤 ∈ (1...(#‘𝐵)) ↔ (𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ≤ (#‘𝐵))))
242233, 237, 241mpbir2and 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)) → 𝑤 ∈ (1...(#‘𝐵)))
243242rabssdv 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)} ⊆ (1...(#‘𝐵)))
244131, 243syl5eqss 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ⊆ (1...(#‘𝐵)))
245231, 244ssfid 8068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
246245adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷 ∈ Fin)
2476, 7, 128, 129, 130, 134, 131, 136, 217, 220, 223, 229, 230, 246ablfac1eulem 18294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
248247ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℙ ¬ 𝑥 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
249248adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℙ ¬ 𝑥 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
250127, 249, 35rspcdva 3288 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → ¬ 𝑞 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
251 coprm 15261 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑞 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ↔ (𝑞 gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
25235, 119, 251syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (¬ 𝑞 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ↔ (𝑞 gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
253250, 252mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1)
254 rpexp1i 15271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑞 gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1 → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
25537, 119, 48, 254syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞 gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1 → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
256253, 255mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1)
257 coprmdvds2 15206 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℤ) ∧ ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘𝐵) ∧ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (#‘𝐵)) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (#‘𝐵)))
25874, 119, 53, 256, 257syl31anc 1321 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘𝐵) ∧ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (#‘𝐵)) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (#‘𝐵)))
25990, 107, 258mp2and 711 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (#‘𝐵))
260 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
261 inss1 3795 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∩ {𝑞}) ⊆ 𝐷
262261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐷 ∩ {𝑞}) ⊆ 𝐷)
26396, 100, 262dprdres 18250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷))))
264263simpld 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))
265 dprdsubg 18246 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
266264, 265syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
267 inass 3785 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = (𝐷 ∩ ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})))
268 disjdif 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅
269268ineq2i 3773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∩ ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞}))) = (𝐷 ∩ ∅)
270 in0 3920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∩ ∅) = ∅
271267, 269, 2703eqtri 2636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅
272271a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅)
27396, 100, 262, 101, 272, 108dprddisj2 18261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∩ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) = {(0g𝐺)})
27496, 100, 262, 101, 272, 260dprdcntz2 18260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
2756dprdssv 18238 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ 𝐵
276 ssfi 8065 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ Fin)
27720, 275, 276sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ Fin)
278203, 108, 260, 266, 105, 273, 274, 277, 115lsmhash 17941 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = ((#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
279 inundif 3998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞})) = 𝐷
280279eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞}))
281280a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐷 = ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞})))
28298, 272, 281, 203, 96dprdsplit 18270 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
283215adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵)
284282, 283eqtr3d 2646 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) = 𝐵)
285284fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = (#‘𝐵))
286 snssi 4280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞𝐷 → {𝑞} ⊆ 𝐷)
287286adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → {𝑞} ⊆ 𝐷)
288 sseqin2 3779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑞} ⊆ 𝐷 ↔ (𝐷 ∩ {𝑞}) = {𝑞})
289287, 288sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐷 ∩ {𝑞}) = {𝑞})
290289reseq2d 5317 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ((𝑇𝐷) ↾ {𝑞}))
291290oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ {𝑞})))
29296adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → 𝐺dom DProd (𝑇𝐷))
293219ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
294 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → 𝑞𝐷)
295292, 293, 294dpjlem 18273 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ {𝑞})) = ((𝑇𝐷)‘𝑞))
296224adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → ((𝑇𝐷)‘𝑞) = (𝑇𝑞))
297291, 295, 2963eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
298 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ¬ 𝑞𝐷)
299 disjsn 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∩ {𝑞}) = ∅ ↔ ¬ 𝑞𝐷)
300298, 299sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐷 ∩ {𝑞}) = ∅)
301300reseq2d 5317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ((𝑇𝐷) ↾ ∅))
302 res0 5321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝐷) ↾ ∅) = ∅
303301, 302syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ∅)
304303oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝐺 DProd ∅))
305108dprd0 18253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
30641, 305syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
307306simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
308307adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
309304, 308, 1943eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
310309anassrs 678 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ ¬ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
311297, 310pm2.61dan 828 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
312311fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) = (#‘(𝑇𝑞)))
313312oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → ((#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = ((#‘(𝑇𝑞)) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
314278, 285, 3133eqtr3d 2652 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘𝐵) = ((#‘(𝑇𝑞)) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
315259, 314breqtrd 4609 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((#‘(𝑇𝑞)) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
316118nnne0d 10942 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ≠ 0)
317 dvdsmulcr 14849 . . . . . . . 8 (((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ ∧ ((#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ≠ 0)) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((#‘(𝑇𝑞)) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘(𝑇𝑞))))
31874, 69, 119, 316, 317syl112anc 1322 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((#‘(𝑇𝑞)) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘(𝑇𝑞))))
319315, 318mpbid 221 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘(𝑇𝑞)))
320 dvdseq 14874 . . . . . 6 ((((#‘(𝑇𝑞)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ0) ∧ ((#‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘(𝑇𝑞)))) → (#‘(𝑇𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
32168, 88, 61, 319, 320syl22anc 1319 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
3226, 7, 8, 9, 10, 11ablfac1a 18291 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑆𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
323321, 322eqtr4d 2647 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) = (#‘(𝑆𝑞)))
324 hashen 12997 . . . . 5 (((𝑇𝑞) ∈ Fin ∧ (𝑆𝑞) ∈ Fin) → ((#‘(𝑇𝑞)) = (#‘(𝑆𝑞)) ↔ (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞)))
32529, 24, 324syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → ((#‘(𝑇𝑞)) = (#‘(𝑆𝑞)) ↔ (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞)))
326323, 325mpbid 221 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞))
327 fisseneq 8056 . . 3 (((𝑆𝑞) ∈ Fin ∧ (𝑇𝑞) ⊆ (𝑆𝑞) ∧ (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞)) → (𝑇𝑞) = (𝑆𝑞))
32824, 87, 326, 327syl3anc 1318 . 2 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) = (𝑆𝑞))
3295, 19, 328eqfnfvd 6222 1 (𝜑𝑇 = 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≈ cen 7838  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  #chash 12979   ∥ cdvds 14821   gcd cgcd 15054  ℙcprime 15223   pCnt cpc 15379  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571  odcod 17767  LSSumclsm 17872  Abelcabl 18017   DProd cdprd 18215 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-ga 17546  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-od 17771  df-lsm 17874  df-pj1 17875  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-dprd 18217 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator