Theorem grpbn0 17274

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2610	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 17273	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4		ne0i 3880	. 2 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  0_gc0g 15923  Grpcgrp 17245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248

This theorem is referenced by:  grpn0  17277  dfgrp3  17337  issubg2  17432  grpissubg  17437  ghmrn  17496  gexcl3  17825  gexcl2  17827  sylow1lem1  17836  sylow1lem3  17838  sylow1lem5  17840  pgpfi  17843  pgpfi2  17844  sylow2blem3  17860  slwhash  17862  fislw  17863  gexex  18079  lt6abl  18119  ablfac1lem  18290  ablfac1b  18292  ablfac1c  18293  ablfac1eu  18295  pgpfac1lem2  18297  pgpfac1lem3a  18298  ablfaclem3  18309  dvdsr02  18479  lmodbn0  18696  lmodsn0  18699  islss3  18780  0ringnnzr  19090  isclmp  22705  dfacbasgrp  36697