Theorem dprdcntz2 18260

Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz2.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdcntz2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
dprdcntz2.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdcntz2	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))

Proof of Theorem dprdcntz2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdcntz2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdcntz2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dprdcntz2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
4	1, 2, 3	dprdres 18250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
5	4	simpld 474	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
6		dmres 5339	. . 3 ⊢ dom (𝑆 ↾ 𝐶) = (𝐶 ∩ dom 𝑆)
7	3, 2	sseqtr4d 3605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ dom 𝑆)
8		df-ss 3554	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
9	7, 8	sylib 207	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
10	6, 9	syl5eq 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ 𝐶) = 𝐶)
11		dprdgrp 18227	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
14	13	dprdssv 18238	. . 3 ⊢ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)
15		dprdcntz2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
16	13, 15	cntzsubg 17592	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17	12, 14, 16	sylancl 693	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18		fvres 6117	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
20		dprdcntz2.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
21	1, 2, 20	dprdres 18250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
22	21	simpld 474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
24		dprdsubg 18246	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
26	3	sselda 3568	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐼)
27	1, 2	dprdf2 18229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
28	27	ffvelrnda 6267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
29	26, 28	syldan 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
30		dmres 5339	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝑆 ↾ 𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝑆)
31	20, 2	sseqtr4d 3605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ dom 𝑆)
32		df-ss 3554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
33	31, 32	sylib 207	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
34	30, 33	syl5eq 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ 𝐷) = 𝐷)
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → dom (𝑆 ↾ 𝐷) = 𝐷)
36	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
37	13	subgss 17418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
38	29, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
39	13, 15	cntzsubg 17592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆‘𝑥) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝑆‘𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
40	36, 38, 39	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑍‘(𝑆‘𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
41		fvres 6117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑦) = (𝑆‘𝑦))
42	41	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑦) = (𝑆‘𝑦))
43	1	ad2antrr 758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐺dom DProd 𝑆)
44	2	ad2antrr 758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → dom 𝑆 = 𝐼)
45	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ⊆ 𝐼)
46	45	sselda 3568	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐼)
47	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐼)
48		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
49		noel 3878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
50		elin 3758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
51		dprdcntz2.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
52	51	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶 ∩ 𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
53	50, 52	syl5bbr 273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
54	49, 53	mtbiri 316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
55		imnan 437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
56	54, 55	sylibr 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷))
57	56	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷)
58	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐷)
59		nelne2 2879	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑥)
60	48, 58, 59	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ≠ 𝑥)
61	43, 44, 46, 47, 60, 15	dprdcntz 18230	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑆‘𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑥)))
62	42, 61	eqsstrd 3602	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑥)))
63	23, 35, 40, 62	dprdlub 18248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝑍‘(𝑆‘𝑥)))
64	15, 25, 29, 63	cntzrecd 17914	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
65	19, 64	eqsstrd 3602	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
66	5, 10, 17, 65	dprdlub 18248	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571   DProd cdprd 18215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-cmn 18018  df-dprd 18217

This theorem is referenced by:  dprd2da  18264  dmdprdsplit  18269  ablfac1eulem  18294  ablfac1eu  18295