Theorem subgss 17418

Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgss	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 17417	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp2bi 1070	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-subg 17414

This theorem is referenced by:  subgbas  17421  subg0  17423  subginv  17424  subgsubcl  17428  subgsub  17429  subgmulgcl  17430  subgmulg  17431  issubg2  17432  issubg4  17436  subsubg  17440  subgint  17441  nsgconj  17450  nsgacs  17453  ssnmz  17459  eqger  17467  eqgid  17469  eqgen  17470  eqgcpbl  17471  lagsubg2  17478  lagsubg  17479  resghm  17499  ghmnsgima  17507  conjsubg  17515  conjsubgen  17516  conjnmz  17517  conjnmzb  17518  gicsubgen  17544  subgga  17556  gasubg  17558  gastacos  17566  orbstafun  17567  cntrsubgnsg  17596  oddvds2  17806  subgpgp  17835  odcau  17842  pgpssslw  17852  sylow2blem1  17858  sylow2blem2  17859  sylow2blem3  17860  slwhash  17862  fislw  17863  sylow2  17864  sylow3lem1  17865  sylow3lem2  17866  sylow3lem3  17867  sylow3lem4  17868  sylow3lem5  17869  sylow3lem6  17870  lsmval  17886  lsmelval  17887  lsmelvali  17888  lsmelvalm  17889  lsmsubg  17892  lsmub1  17894  lsmub2  17895  lsmless1  17897  lsmless2  17898  lsmless12  17899  lsmass  17906  subglsm  17909  lsmmod  17911  cntzrecd  17914  lsmcntz  17915  lsmcntzr  17916  lsmdisj2  17918  subgdisj1  17927  pj1f  17933  pj1id  17935  pj1lid  17937  pj1rid  17938  pj1ghm  17939  subgabl  18064  ablcntzd  18083  lsmcom  18084  dprdff  18234  dprdfadd  18242  dprdres  18250  dprdss  18251  subgdmdprd  18256  dprdcntz2  18260  dmdprdsplit2lem  18267  ablfacrp  18288  ablfac1eu  18295  pgpfac1lem1  18296  pgpfac1lem2  18297  pgpfac1lem3a  18298  pgpfac1lem3  18299  pgpfac1lem4  18300  pgpfac1lem5  18301  pgpfaclem1  18303  pgpfaclem2  18304  pgpfaclem3  18305  ablfaclem3  18309  ablfac2  18311  issubrg2  18623  issubrg3  18631  islss4  18783  mpllsslem  19256  phssip  19822  subgtgp  21719  subgntr  21720  opnsubg  21721  clssubg  21722  clsnsg  21723  cldsubg  21724  qustgpopn  21733  qustgphaus  21736  tgptsmscls  21763  subgnm  22247  subgngp  22249  lssnlm  22315  efgh  24091  efabl  24100  efsubm  24101  idomsubgmo  36795