Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efabl 24100
 Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number, is an Abelian group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
efabl.1 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
efabl.2 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
efabl.3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
efabl.4 (𝜑𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
Assertion
Ref Expression
efabl (𝜑𝐺 ∈ Abel)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem efabl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . 2 (Base‘(ℂflds 𝑋)) = (Base‘(ℂflds 𝑋))
2 eqid 2610 . 2 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3 eqid 2610 . 2 (+g‘(ℂflds 𝑋)) = (+g‘(ℂflds 𝑋))
4 eqid 2610 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 simp1 1054 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋))) → 𝜑)
6 simp2 1055 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)))
7 efabl.4 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
8 eqid 2610 . . . . . . 7 (ℂflds 𝑋) = (ℂflds 𝑋)
98subgbas 17421 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 = (Base‘(ℂflds 𝑋)))
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (Base‘(ℂflds 𝑋)))
11103ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋))) → 𝑋 = (Base‘(ℂflds 𝑋)))
126, 11eleqtrrd 2691 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋))) → 𝑥𝑋)
13 simp3 1056 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)))
1413, 11eleqtrrd 2691 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋))) → 𝑦𝑋)
15 efabl.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1615, 7jca 553 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)))
17 efabl.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
1817efgh 24091 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
1916, 18syl3an1 1351 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
20 cnfldadd 19572 . . . . . . . . 9 + = (+g‘ℂfld)
218, 20ressplusg 15818 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → + = (+g‘(ℂflds 𝑋)))
227, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → + = (+g‘(ℂflds 𝑋)))
23223ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → + = (+g‘(ℂflds 𝑋)))
2423oveqd 6566 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂflds 𝑋))𝑦))
2524fveq2d 6107 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂflds 𝑋))𝑦)))
26 mptexg 6389 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
2717, 26syl5eqel 2692 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝐹 ∈ V)
28 rnexg 6990 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
297, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ V)
30 efabl.2 . . . . . . . 8 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
31 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
32 cnfldmul 19573 . . . . . . . . 9 · = (.r‘ℂfld)
3331, 32mgpplusg 18316 . . . . . . . 8 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3430, 33ressplusg 15818 . . . . . . 7 (ran 𝐹 ∈ V → · = (+g𝐺))
3529, 34syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → · = (+g𝐺))
36353ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → · = (+g𝐺))
3736oveqd 6566 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝐺)(𝐹𝑦)))
3819, 25, 373eqtr3d 2652 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂflds 𝑋))𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝐺)(𝐹𝑦)))
395, 12, 14, 38syl3anc 1318 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂflds 𝑋))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂflds 𝑋))𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝐺)(𝐹𝑦)))
40 fvex 6113 . . . . 5 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ V
4140, 17fnmpti 5935 . . . 4 𝐹 Fn 𝑋
42 dffn4 6034 . . . 4 (𝐹 Fn 𝑋𝐹:𝑋onto→ran 𝐹)
4341, 42mpbi 219 . . 3 𝐹:𝑋onto→ran 𝐹
44 eqidd 2611 . . . 4 (𝜑𝐹 = 𝐹)
45 eff 14651 . . . . . . . 8 exp:ℂ⟶ℂ
4645a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → exp:ℂ⟶ℂ)
4715adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
48 cnfldbas 19571 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
4948subgss 17418 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
507, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
5150sselda 3568 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
5247, 51mulcld 9939 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
5346, 52ffvelrnd 6268 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
5453ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
5517rnmptss 6299 . . . . 5 (∀𝑥𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
5631, 48mgpbas 18318 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
5730, 56ressbas2 15758 . . . . 5 (ran 𝐹 ⊆ ℂ → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
5854, 55, 573syl 18 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
5944, 10, 58foeq123d 6045 . . 3 (𝜑 → (𝐹:𝑋onto→ran 𝐹𝐹:(Base‘(ℂflds 𝑋))–onto→(Base‘𝐺)))
6043, 59mpbii 222 . 2 (𝜑𝐹:(Base‘(ℂflds 𝑋))–onto→(Base‘𝐺))
61 cnring 19587 . . . 4 fld ∈ Ring
62 ringabl 18403 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
6361, 62ax-mp 5 . . 3 fld ∈ Abel
648subgabl 18064 . . 3 ((ℂfld ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) → (ℂflds 𝑋) ∈ Abel)
6563, 7, 64sylancr 694 . 2 (𝜑 → (ℂflds 𝑋) ∈ Abel)
661, 2, 3, 4, 39, 60, 65ghmabl 18061 1 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   · cmul 9820  expce 14631  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  +gcplusg 15768  SubGrpcsubg 17411  Abelcabl 18017  mulGrpcmgp 18312  Ringcrg 18370  ℂfldccnfld 19567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-cnfld 19568 This theorem is referenced by:  efsubm  24101  circgrp  24102
 Copyright terms: Public domain W3C validator