Theorem mgpbas 18318

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Proof of Theorem mgpbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mgpbas.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		df-base 15700	. . 3 ⊢ Base = Slot 1
4		1nn 10908	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		1ne2 11117	. . 3 ⊢ 1 ≠ 2
6	2, 3, 4, 5	mgplem 18317	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
7	1, 6	eqtri 2632	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1475  ‘cfv 5804  1c1 9816  Basecbs 15695  mulGrpcmgp 18312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mgp 18313

This theorem is referenced by:  mgptopn  18321  mgpress  18323  dfur2  18327  srgcl  18335  srgass  18336  srgideu  18337  srgidcl  18341  srgidmlem  18343  issrgid  18346  srg1zr  18352  srgpcomp  18355  srgpcompp  18356  srgpcomppsc  18357  srgbinomlem1  18363  srgbinomlem4  18366  srgbinomlem  18367  srgbinom  18368  csrgbinom  18369  ringcl  18384  crngcom  18385  iscrng2  18386  ringass  18387  ringideu  18388  ringidcl  18391  ringidmlem  18393  isringid  18396  ringidss  18400  ringpropd  18405  crngpropd  18406  isringd  18408  iscrngd  18409  ring1  18425  gsummgp0  18431  prdsmgp  18433  oppr1  18457  unitgrpbas  18489  unitsubm  18493  rngidpropd  18518  dfrhm2  18540  rhmmul  18550  isrhm2d  18551  idrhm  18554  rhmf1o  18555  pwsco1rhm  18561  pwsco2rhm  18562  isdrng2  18580  drngmcl  18583  drngid2  18586  isdrngd  18595  subrgsubm  18616  issubrg3  18631  cntzsubr  18635  pwsdiagrhm  18636  rhmpropd  18638  rlmscaf  19029  sraassa  19146  assamulgscmlem1  19169  assamulgscmlem2  19170  psrcrng  19234  mplcoe3  19287  mplcoe5lem  19288  mplcoe5  19289  mplbas2  19291  evlslem6  19334  evlslem3  19335  evlslem1  19336  mpfind  19357  ply1moncl  19462  coe1tm  19464  coe1pwmul  19470  ply1scltm  19472  ply1coefsupp  19486  ply1coe  19487  gsummoncoe1  19495  lply1binomsc  19498  evls1gsummul  19511  evls1varpw  19512  evl1expd  19530  evl1gsummul  19545  evl1scvarpw  19548  evl1scvarpwval  19549  evl1gsummon  19550  xrsmcmn  19588  cnfldexp  19598  cnmsubglem  19628  expmhm  19634  nn0srg  19635  rge0srg  19636  expghm  19663  cnmsgnbas  19743  ringvcl  20023  mamuvs2  20031  matgsumcl  20085  madetsmelbas  20089  madetsmelbas2  20090  mat1mhm  20109  scmatmhm  20159  mdetleib2  20213  mdetf  20220  m1detdiag  20222  mdetdiaglem  20223  mdetdiag  20224  mdetdiagid  20225  mdetrlin  20227  mdetrsca  20228  mdetralt  20233  mdetunilem7  20243  mdetunilem8  20244  mdetuni0  20246  m2detleiblem2  20253  m2detleiblem3  20254  m2detleiblem4  20255  smadiadetlem4  20294  mat2pmatmhm  20357  pmatcollpwscmatlem1  20413  mply1topmatcllem  20427  mply1topmatcl  20429  pm2mpghm  20440  pm2mpmhm  20444  monmat2matmon  20448  pm2mp  20449  chpscmat  20466  chpscmatgsumbin  20468  chpscmatgsummon  20469  chp0mat  20470  chpidmat  20471  chfacfscmulcl  20481  chfacfscmul0  20482  chfacfscmulgsum  20484  chfacfpmmulcl  20485  chfacfpmmul0  20486  chfacfpmmulgsum  20488  chfacfpmmulgsum2  20489  cayhamlem1  20490  cpmadugsumlemB  20498  cpmadugsumlemC  20499  cpmadugsumlemF  20500  cayhamlem2  20508  cayhamlem4  20512  nrgtrg  22304  deg1pw  23684  ply1remlem  23726  fta1blem  23732  plypf1  23772  efabl  24100  efsubm  24101  amgm  24517  wilthlem2  24595  wilthlem3  24596  dchrelbas2  24762  dchrelbas3  24763  dchrzrhmul  24771  dchrmulcl  24774  dchrn0  24775  dchrinvcl  24778  dchrfi  24780  dchrsum2  24793  sum2dchr  24799  lgsqrlem1  24871  lgsqrlem2  24872  lgsqrlem3  24873  lgsqrlem4  24874  lgseisenlem3  24902  lgseisenlem4  24903  dchrisum0flblem1  24997  psgnid  29178  mdetpmtr1  29217  iistmd  29276  xrge0iifmhm  29313  xrge0pluscn  29314  pl1cn  29329  hbtlem4  36715  subrgacs  36789  cntzsdrg  36791  idomrootle  36792  isdomn3  36801  mon1psubm  36803  deg1mhm  36804  amgm2d  37523  amgm3d  37524  amgm4d  37525  isringrng  41671  rngcl  41673  isrnghmmul  41683  rnghmf1o  41693  idrnghm  41698  c0rhm  41702  c0rnghm  41703  lidlmmgm  41715  lidlmsgrp  41716  2zrngmmgm  41736  2zrngmsgrp  41737  2zrngnring  41742  cznrng  41747  cznnring  41748  mgpsumunsn  41933  mgpsumz  41934  mgpsumn  41935  invginvrid  41942  ply1vr1smo  41963  ply1mulgsumlem4  41971  ply1mulgsum  41972  amgmlemALT  42358  amgmw2d  42359