Theorem ressbas2 15758

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
ressbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3554	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
2	1	biimpi 205	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
3		ressbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
4		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	ssex 4730	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
7		ressbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
8	7, 3	ressbas 15757	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))
10	2, 9	eqtr3d 2646	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-nn 10898  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702

This theorem is referenced by:  rescbas  16312  fullresc  16334  resssetc  16565  yoniso  16748  issstrmgm  17075  gsumress  17099  issubmnd  17141  ress0g  17142  submnd0  17143  submbas  17178  resmhm  17182  resgrpplusfrn  17259  subgbas  17421  issubg2  17432  resghm  17499  submod  17807  ringidss  18400  unitgrpbas  18489  isdrng2  18580  drngmcl  18583  drngid2  18586  isdrngd  18595  islss3  18780  lsslss  18782  lsslsp  18836  reslmhm  18873  issubassa  19145  resspsrbas  19236  mplbas  19250  ressmplbas  19277  evlssca  19343  mpfconst  19351  mpfind  19357  ply1bas  19386  ressply1bas  19420  evls1sca  19509  xrs1mnd  19603  xrs10  19604  xrs1cmn  19605  xrge0subm  19606  xrge0cmn  19607  cnmsubglem  19628  nn0srg  19635  rge0srg  19636  zringbas  19643  expghm  19663  cnmsgnbas  19743  psgnghm  19745  rebase  19771  dsmmbase  19898  dsmmval2  19899  lsslindf  19988  lsslinds  19989  islinds3  19992  m2cpmrngiso  20382  ressusp  21879  imasdsf1olem  21988  xrge0gsumle  22444  xrge0tsms  22445  cmsss  22955  minveclem3a  23006  efabl  24100  efsubm  24101  qrngbas  25108  ressplusf  28981  ressnm  28982  ressprs  28986  ressmulgnn  29014  ressmulgnn0  29015  xrge0tsmsd  29116  ress1r  29120  xrge0slmod  29175  prsssdm  29291  ordtrestNEW  29295  ordtrest2NEW  29297  xrge0iifmhm  29313  esumpfinvallem  29463  sitgaddlemb  29737  prdsbnd2  32764  cnpwstotbnd  32766  repwsmet  32803  rrnequiv  32804  lcdvbase  35900  islssfg  36658  lnmlsslnm  36669  pwssplit4  36677  cntzsdrg  36791  deg1mhm  36804  gsumge0cl  39264  sge0tsms  39273  cnfldsrngbas  41559  issubmgm2  41580  submgmbas  41586  resmgmhm  41588  amgmlemALT  42358