Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngid2 18586
 Description: Properties showing that an element 𝐼 is the identity element of a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
drngid2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngid2.t · = (.r𝑅)
drngid2.o 0 = (0g𝑅)
drngid2.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
drngid2 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ 1 = 𝐼))

Proof of Theorem drngid2
StepHypRef Expression
1 df-3an 1033 . . . 4 ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ ((𝐼𝐵𝐼0 ) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
2 eldifsn 4260 . . . . 5 (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼𝐵𝐼0 ))
32anbi1i 727 . . . 4 ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ ((𝐼𝐵𝐼0 ) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
41, 3bitr4i 266 . . 3 ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
5 drngid2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 drngid2.o . . . . 5 0 = (0g𝑅)
7 eqid 2610 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
85, 6, 7drngmgp 18582 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
9 difss 3699 . . . . . 6 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
10 eqid 2610 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1110, 5mgpbas 18318 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
127, 11ressbas2 15758 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
139, 12ax-mp 5 . . . . 5 (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
14 fvex 6113 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
155, 14eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
16 difexg 4735 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
17 drngid2.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑅)
1810, 17mgpplusg 18316 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
197, 18ressplusg 15818 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
2015, 16, 19mp2b 10 . . . . 5 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
21 eqid 2610 . . . . 5 (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
2213, 20, 21isgrpid2 17281 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp → ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
238, 22syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
244, 23syl5bb 271 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
25 drngid2.u . . . 4 1 = (1r𝑅)
265, 6, 25, 7drngid 18584 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
2726eqeq1d 2612 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ( 1 = 𝐼 ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
2824, 27bitr4d 270 1 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ 1 = 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  mulGrpcmgp 18312  1rcur 18324  DivRingcdr 18570 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572 This theorem is referenced by:  erng1r  35301  dvalveclem  35332
 Copyright terms: Public domain W3C validator