Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbas 15757
 Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbas (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas
StepHypRef Expression
1 ressbas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 simp1 1054 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝐵𝐴)
3 sseqin2 3779 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
42, 3sylib 207 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
5 ressbas.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
65, 1ressid2 15755 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
76fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
81, 4, 73eqtr4a 2670 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
983expib 1260 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
10 simp2 1055 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ V)
11 fvex 6113 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) ∈ V
121, 11eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
1312inex2 4728 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ∈ V
14 baseid 15747 . . . . . . 7 Base = Slot (Base‘ndx)
1514setsid 15742 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐴𝐵) ∈ V) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1610, 13, 15sylancl 693 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
175, 1ressval2 15756 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩))
1817fveq2d 6107 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1916, 18eqtr4d 2647 . . . 4 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
20193expib 1260 . . 3 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
219, 20pm2.61i 175 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
22 0fv 6137 . . . . 5 (∅‘(Base‘ndx)) = ∅
23 0ex 4718 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2423, 14strfvn 15712 . . . . 5 (Base‘∅) = (∅‘(Base‘ndx))
25 in0 3920 . . . . 5 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
2622, 24, 253eqtr4ri 2643 . . . 4 (𝐴 ∩ ∅) = (Base‘∅)
27 fvprc 6097 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
281, 27syl5eq 2656 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝐵 = ∅)
2928ineq2d 3776 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (𝐴 ∩ ∅))
30 reldmress 15753 . . . . . . 7 Rel dom ↾s
3130ovprc1 6582 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
325, 31syl5eq 2656 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
3332fveq2d 6107 . . . 4 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
3426, 29, 333eqtr4a 2670 . . 3 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3534adantr 480 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3621, 35pm2.61ian 827 1 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Basecbs 15695   ↾s cress 15696 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-nn 10898  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702 This theorem is referenced by:  ressbas2  15758  ressbasss  15759  ressress  15765  rescabs  16316  resscatc  16578  resscntz  17587  idrespermg  17654  opprsubg  18459  subrgpropd  18637  sralmod  19008  resstopn  20800  resstps  20801  ressuss  21877  ressxms  22140  ressms  22141  cphsubrglem  22785  resspos  28990  resstos  28991  xrge0base  29016  xrge00  29017  submomnd  29041  suborng  29146  gsumge0cl  39264  sge0tsms  39273  lidlssbas  41712  lidlbas  41713  uzlidlring  41719  dmatALTbas  41984
 Copyright terms: Public domain W3C validator