Theorem 0fv 6137

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3878	. . 3 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		dm0 5260	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	eleq2i 2680	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom ∅ ↔ 𝐴 ∈ ∅)
4	1, 3	mtbir 312	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ dom ∅
5		ndmfv 6128	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ∅ → (∅‘𝐴) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874  dom cdm 5038  ‘cfv 5804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4717  ax-pow 4769

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fv 5812

This theorem is referenced by:  fv2prc  6138  csbfv12  6141  0ov  6580  csbov123  6585  csbov  6586  elovmpt3imp  6788  bropopvvv  7142  bropfvvvvlem  7143  itunisuc  9124  itunitc1  9125  str0  15739  ressbas  15757  cntrval  17575  cntzval  17577  cntzrcl  17583  sralem  18998  srasca  19002  sravsca  19003  sraip  19004  rlmval  19012  opsrle  19296  opsrbaslem  19298  opsrbaslemOLD  19299  mpfrcl  19339  evlval  19345  psr1val  19377  vr1val  19383  chrval  19692  ocvval  19830  elocv  19831  iscnp2  20853  clwwlkgt0  26299  clwwlknprop  26300  resvsca  29161  mrsubfval  30659  msubfval  30675  poimirlem28  32607