Theorem cphsubrglem 22785

Description: Lemma for cphsubrg 22788. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsubrglem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
cphsubrglem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
cphsubrglem	⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))

Proof of Theorem cphsubrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsubrglem.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
2		cphsubrglem.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
4		cphsubrglem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
5		drngring 18577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
7	1, 6	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴))
9		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(ℂfld ↾s 𝐴)) = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐴))
10	8, 9	ring0cl 18392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂfld ↾s 𝐴) ∈ Ring → (0g‘(ℂfld ↾s 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
11		reldmress 15753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel dom ↾s
12		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s 𝐴)
13	11, 12, 8	elbasov 15749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘(ℂfld ↾s 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)) → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
14	7, 10, 13	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
15	14	simprd 478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
16		cnfldbas 19571	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17	12, 16	ressbas 15757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
19	3, 18	eqtr4d 2647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (𝐴 ∩ ℂ))
20	2, 19	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ))
21	20	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s (𝐴 ∩ ℂ)))
22	16	ressinbas 15763	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s (𝐴 ∩ ℂ)))
23	15, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s (𝐴 ∩ ℂ)))
24	21, 23	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐴))
25	1, 24	eqtr4d 2647	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
26	25, 6	eqeltrrd 2689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring)
27		cnring 19587	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
28	26, 27	jctil 558	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring))
29	12, 16	ressbasss 15759	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)) ⊆ ℂ
30	3, 29	syl6eqss 3618	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
31	2, 30	syl5eqss 3612	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
32		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
33		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
34	32, 33	drngunz 18585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
35	4, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
36	25	fveq2d 6107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
37		ringgrp 18375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
38	27, 37	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Grp)
39		ringgrp 18375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Grp)
40	26, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Grp)
41	16	issubg 17417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ ℂ ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Grp))
42	38, 31, 40, 41	syl3anbrc 1239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
43		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
44		cnfld0 19589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
45	43, 44	subg0 17423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
47	36, 46	eqtr4d 2647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) = 0)
48	35, 47	neeqtrd 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ≠ 0)
49	48	neneqd 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝐹) = 0)
50	2, 33	ringidcl 18391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
51	6, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
52	31, 51	sseldd 3569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ ℂ)
53	52	sqvald 12867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹)↑2) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝐹)))
54	25	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) = (1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
55	54	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · (1r‘𝐹)) = ((1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) · (1r‘𝐹)))
56	25	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
57	2, 56	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
58	51, 57	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
59		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾))
60		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐹) ∈ V
61	2, 60	eqeltri 2684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ V
62		cnfldmul 19573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
63	43, 62	ressmulr 15829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
64	61, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾))
65		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (1r‘(ℂfld ↾s 𝐾))
66	59, 64, 65	ringlidm 18394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾))) → ((1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) · (1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
67	26, 58, 66	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) · (1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
68	53, 55, 67	3eqtrd 2648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹)↑2) = (1r‘𝐹))
69		sq01 12848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ ℂ → (((1r‘𝐹)↑2) = (1r‘𝐹) ↔ ((1r‘𝐹) = 0 ∨ (1r‘𝐹) = 1)))
70	52, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐹)↑2) = (1r‘𝐹) ↔ ((1r‘𝐹) = 0 ∨ (1r‘𝐹) = 1)))
71	68, 70	mpbid 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) = 0 ∨ (1r‘𝐹) = 1))
72	71	ord 391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (1r‘𝐹) = 0 → (1r‘𝐹) = 1))
73	49, 72	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) = 1)
74	73, 51	eqeltrrd 2689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
75	31, 74	jca 553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾))
76		cnfld1 19590	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
77	16, 76	issubrg 18603	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring) ∧ (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾)))
78	28, 75, 77	sylanbrc 695	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
79	25, 20, 78	3jca 1235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  2c2 10947  ↑cexp 12722  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  ._rcmulr 15769  0_gc0g 15923  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411  1_rcur 18324  Ringcrg 18370  DivRingcdr 18570  SubRingcsubrg 18599  ℂ_fldccnfld 19567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-cnfld 19568

This theorem is referenced by:  cphreccllem  22786  cphsubrg  22788  tchclm  22839  tchcph  22844