MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas Structured version   Unicode version

Theorem ressbas 14228
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r  |-  R  =  ( Ws  A )
ressbas.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
ressbas  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )

Proof of Theorem ressbas
StepHypRef Expression
1 ressbas.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  B  C_  A )
3 sseqin2 3569 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  <->  ( A  i^i  B )  =  B )
42, 3sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  B )  =  B )
5 ressbas.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( Ws  A )
65, 1ressid2 14226 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  W )
76fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  W
) )
81, 4, 73eqtr4a 2501 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
983expib 1190 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R ) ) )
10 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( -.  B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  W  e.  _V )
11 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  e.  _V
121, 11eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
1312inex2 4434 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  B )  e. 
_V
14 baseid 14220 . . . . . . 7  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
1514setsid 14215 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  _V  /\  ( A  i^i  B )  e.  _V )  -> 
( A  i^i  B
)  =  ( Base `  ( W sSet  <. ( Base `  ndx ) ,  ( A  i^i  B
) >. ) ) )
1610, 13, 15sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( -.  B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  ( W sSet  <. ( Base `  ndx ) ,  ( A  i^i  B
) >. ) ) )
175, 1ressval2 14227 . . . . . 6  |-  ( ( -.  B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  ( W sSet  <. ( Base `  ndx ) ,  ( A  i^i  B ) >. )
)
1817fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( ( -.  B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  ( W sSet  <. ( Base `  ndx ) ,  ( A  i^i  B
) >. ) ) )
1916, 18eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( -.  B  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R ) )
20193expib 1190 . . 3  |-  ( -.  B  C_  A  ->  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R ) ) )
219, 20pm2.61i 164 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  B
)  =  ( Base `  R ) )
22 0fv 5723 . . . . 5  |-  ( (/) `  ( Base `  ndx ) )  =  (/)
23 0ex 4422 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
2423, 14strfvn 14191 . . . . 5  |-  ( Base `  (/) )  =  (
(/) `  ( Base ` 
ndx ) )
25 in0 3663 . . . . 5  |-  ( A  i^i  (/) )  =  (/)
2622, 24, 253eqtr4ri 2474 . . . 4  |-  ( A  i^i  (/) )  =  (
Base `  (/) )
27 fvprc 5685 . . . . . 6  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
Base `  W )  =  (/) )
281, 27syl5eq 2487 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  B  =  (/) )
2928ineq2d 3552 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( A  i^i  B )  =  ( A  i^i  (/) ) )
30 reldmress 14224 . . . . . . 7  |-  Rel  doms
3130ovprc1 6119 . . . . . 6  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Ws  A )  =  (/) )
325, 31syl5eq 2487 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  R  =  (/) )
3332fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
Base `  R )  =  ( Base `  (/) ) )
3426, 29, 333eqtr4a 2501 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
3534adantr 465 . 2  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R ) )
3621, 35pm2.61ian 788 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   <.cop 3883   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ndxcnx 14171   sSet csts 14172   Basecbs 14174   ↾s cress 14175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-nn 10323  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181
This theorem is referenced by:  ressbas2  14229  ressbasss  14230  ressress  14235  rescabs  14746  resscatc  14973  resscntz  15849  idrespermg  15916  opprsubg  16728  subrgpropd  16899  sralmod  17268  resstopn  18790  resstps  18791  ressuss  19838  ressxms  20100  ressms  20101  cphsubrglem  20696  resspos  26120  resstos  26121  xrge0base  26146  xrge00  26147  submomnd  26173  suborng  26283
  Copyright terms: Public domain W3C validator