Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resscntz 17587
 Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resscntz.p 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
resscntz.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
resscntz.y 𝑌 = (Cntz‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
resscntz ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑌𝑆) = ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴))

Proof of Theorem resscntz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2 resscntz.y . . . . . . 7 𝑌 = (Cntz‘𝐻)
31, 2cntzrcl 17583 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → (𝐻 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
43simprd 478 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
5 resscntz.p . . . . . 6 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
6 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
75, 6ressbasss 15759 . . . . 5 (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
84, 7syl6ss 3580 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
98a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
10 inss1 3795 . . . . . 6 ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) ⊆ (𝑍𝑆)
1110sseli 3564 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
12 resscntz.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
136, 12cntzrcl 17583 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
1413simprd 478 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1511, 14syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1615a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
17 anass 679 . . . . . 6 (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
18 elin 3758 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
195, 6ressbas 15757 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐻))
2019eleq2d 2673 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
2118, 20syl5bbr 273 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
22 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
235, 22ressplusg 15818 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐻))
2423oveqd 6566 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
2523oveqd 6566 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))
2624, 25eqeq12d 2625 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)))
2726ralbidv 2969 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)))
2821, 27anbi12d 743 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
2928ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
3017, 29syl5rbbr 274 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))))
31 ssin 3797 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)))
3219sseq2d 3596 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
3331, 32syl5bb 271 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → ((𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
3433biimpd 218 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → ((𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
3534impl 648 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
36 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g𝐻) = (+g𝐻)
371, 36, 2elcntz 17578 . . . . . 6 (𝑆 ⊆ (Base‘𝐻) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
3835, 37syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
39 elin 3758 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑥𝐴))
40 ancom 465 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑍𝑆)))
4139, 40bitri 263 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑍𝑆)))
426, 22, 12elcntz 17578 . . . . . . . 8 (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
4342adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
4443anbi2d 736 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))))
4541, 44syl5bb 271 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))))
4630, 38, 453bitr4d 299 . . . 4 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴)))
4746ex 449 . . 3 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴))))
489, 16, 47pm5.21ndd 368 . 2 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴)))
4948eqrdv 2608 1 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑌𝑆) = ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  +gcplusg 15768  Cntzccntz 17571 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-cntz 17573 This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  18141  subgdmdprd  18256  cntzsdrg  36791
 Copyright terms: Public domain W3C validator