Theorem zringbas 19643

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsscn 11262	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
2		df-zring 19638	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
3		cnfldbas 19571	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	2, 3	ressbas2 15758	. 2 ⊢ (ℤ ⊆ ℂ → ℤ = (Base‘ℤring))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1475   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  ℂcc 9813  ℤcz 11254  Basecbs 15695  ℂ_fldccnfld 19567  ℤ_ringzring 19637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-cnfld 19568  df-zring 19638

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  19650  zringlpirlem1  19651  zringlpirlem3  19653  zringinvg  19654  zringunit  19655  zringndrg  19657  zringcyg  19658  prmirredlem  19660  prmirred  19662  expghm  19663  mulgghm2  19664  mulgrhm  19665  mulgrhm2  19666  zlmlmod  19690  zlmassa  19691  chrrhm  19698  domnchr  19699  znlidl  19700  znbas  19711  znzrh2  19713  znzrhfo  19715  zndvds  19717  znf1o  19719  zzngim  19720  znfld  19728  znidomb  19729  znunit  19731  znrrg  19733  cygznlem3  19737  frgpcyg  19741  zrhpsgnodpm  19757  dchrzrhmul  24771  lgsqrlem1  24871  lgsqrlem2  24872  lgsqrlem3  24873  lgsdchr  24880  lgseisenlem3  24902  lgseisenlem4  24903  dchrisum0flblem1  24997  mdetpmtr1  29217  mdetpmtr12  29219  mdetlap  29226  nmmulg  29340  cnzh  29342  rezh  29343  zrhf1ker  29347  zrhunitpreima  29350  elzrhunit  29351  qqhval2lem  29353  qqhf  29358  qqhghm  29360  qqhrhm  29361  qqhnm  29362  mzpmfp  36328  2zlidl  41724  zlmodzxzel  41926  zlmodzxzscm  41928  linevalexample  41978  zlmodzxzldeplem3  42085  zlmodzxzldep  42087  ldepsnlinclem1  42088  ldepsnlinclem2  42089