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Theorem mdetpmtr1 29217
 Description: The determinant of a matrix with permuted rows is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetpmtr.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t · = (.r𝑅)
mdetpmtr1.e 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗))
Assertion
Ref Expression
mdetpmtr1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr1
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2610 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 eqid 2610 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 mdetpmtr.t . . 3 · = (.r𝑅)
5 simpll 786 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ CRing)
6 crngring 18381 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
75, 6syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ Ring)
8 mdetpmtr.g . . . . 5 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
9 fvex 6113 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V
108, 9eqeltri 2684 . . . 4 𝐺 ∈ V
1110a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐺 ∈ V)
12 simplr 788 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑁 ∈ Fin)
13 mdetpmtr.s . . . . . . 7 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
1413, 8psgndmfi 29177 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 Fn 𝐺)
15 fnfun 5902 . . . . . 6 (𝑆 Fn 𝐺 → Fun 𝑆)
1612, 14, 153syl 18 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → Fun 𝑆)
17 simprr 792 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑃𝐺)
18 fndm 5904 . . . . . . 7 (𝑆 Fn 𝐺 → dom 𝑆 = 𝐺)
1912, 14, 183syl 18 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → dom 𝑆 = 𝐺)
2017, 19eleqtrrd 2691 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑃 ∈ dom 𝑆)
21 fvco 6184 . . . . 5 ((Fun 𝑆𝑃 ∈ dom 𝑆) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
2216, 20, 21syl2anc 691 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
23 mdetpmtr.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
248, 13, 23zrhpsgnelbas 19759 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
257, 12, 17, 24syl3anc 1318 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑍‘(𝑆𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
2622, 25eqeltrd 2688 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
277adantr 480 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
288, 23, 13zrhcofipsgn 19758 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆𝑝)))
2912, 28sylan 487 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆𝑝)))
3012adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
31 simpr 476 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑝𝐺)
328, 13, 23zrhpsgnelbas 19759 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
3327, 30, 31, 32syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
3429, 33eqeltrd 2688 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
35 eqid 2610 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3635, 1mgpbas 18318 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
3735crngmgp 18378 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3837ad3antrrr 762 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
39 mdetpmtr.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
40 mdetpmtr.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
41 simplr 788 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑝𝐺)
42 simpr 476 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
43 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
4443, 8symgfv 17630 . . . . . . . 8 ((𝑝𝐺𝑥𝑁) → (𝑝𝑥) ∈ 𝑁)
4541, 42, 44syl2anc 691 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑝𝑥) ∈ 𝑁)
46 mdetpmtr1.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗))
47 simp1rr 1120 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃𝐺)
48 simp2 1055 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
4943, 8symgfv 17630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝐺𝑖𝑁) → (𝑃𝑖) ∈ 𝑁)
5047, 48, 49syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑃𝑖) ∈ 𝑁)
51 simp3 1056 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
52 simp1rl 1119 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑀𝐵)
5339, 1, 40, 50, 51, 52matecld 20051 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑃𝑖)𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
5439, 1, 40, 12, 5, 53matbas2d 20048 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗)) ∈ 𝐵)
5546, 54syl5eqel 2692 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐸𝐵)
5655ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝐸𝐵)
5739, 1, 40, 45, 42, 56matecld 20051 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → ((𝑝𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
5857ralrimiva 2949 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ∀𝑥𝑁 ((𝑝𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
5936, 38, 30, 58gsummptcl 18189 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
601, 4ringcl 18384 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
6127, 34, 59, 60syl3anc 1318 . . 3 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
62 eqid 2610 . . . 4 (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))) = (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))
6343, 8symgbasfi 17629 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → 𝐺 ∈ Fin)
6412, 63syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐺 ∈ Fin)
65 ovex 6577 . . . . 5 (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ V
6665a1i 11 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ V)
67 fvex 6113 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
6867a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (0g𝑅) ∈ V)
6962, 64, 66, 68fsuppmptdm 8169 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))) finSupp (0g𝑅))
701, 2, 3, 4, 7, 11, 26, 61, 69gsummulc2 18430 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))))
71 nfcv 2751 . . . 4 𝑞(((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
72 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑞 = (𝑃𝑝) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) = ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)))
73 fveq1 6102 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝑃𝑝) → (𝑞𝑥) = ((𝑃𝑝)‘𝑥))
7473oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝑃𝑝) → ((𝑞𝑥)𝑀𝑥) = (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
7574mpteq2dv 4673 . . . . . 6 (𝑞 = (𝑃𝑝) → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
7675oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑞 = (𝑃𝑝) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
7772, 76oveq12d 6567 . . . 4 (𝑞 = (𝑃𝑝) → (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
78 ringcmn 18404 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
797, 78syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ CMnd)
80 ssid 3587 . . . . 5 (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
8180a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
827adantr 480 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
8312adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
84 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑞𝐺)
858, 23, 13zrhcofipsgn 19758 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆𝑞)))
8683, 84, 85syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆𝑞)))
878, 13, 23zrhpsgnelbas 19759 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
8882, 83, 84, 87syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
8986, 88eqeltrd 2688 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
9037ad3antrrr 762 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
91 simpllr 795 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
92 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑞𝐺)
93 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
9443, 8symgfv 17630 . . . . . . . . 9 ((𝑞𝐺𝑥𝑁) → (𝑞𝑥) ∈ 𝑁)
9592, 93, 94syl2anc 691 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑞𝑥) ∈ 𝑁)
96 simprl 790 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑀𝐵)
9796ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑀𝐵)
9839, 1, 40, 95, 93, 97matecld 20051 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → ((𝑞𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9998ralrimiva 2949 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ∀𝑥𝑁 ((𝑞𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
10036, 90, 91, 99gsummptcl 18189 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
1011, 4ringcl 18384 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
10282, 89, 100, 101syl3anc 1318 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
103 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g‘(SymGrp‘𝑁)) = (+g‘(SymGrp‘𝑁))
10443, 8, 103symgov 17633 . . . . . 6 ((𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (𝑃𝑝))
10543, 8, 103symgcl 17634 . . . . . 6 ((𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ 𝐺)
106104, 105eqeltrrd 2689 . . . . 5 ((𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑃𝑝) ∈ 𝐺)
10717, 106sylan 487 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑃𝑝) ∈ 𝐺)
10817adantr 480 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑃𝐺)
1098symgfcoeu 29176 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺𝑞𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑞 = (𝑃𝑝))
11083, 108, 84, 109syl3anc 1318 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑞 = (𝑃𝑝))
11171, 1, 2, 77, 79, 64, 81, 102, 107, 110gsummptf1o 18185 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑞𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
112 mdetpmtr.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
113112, 39, 40, 8, 23, 13, 4, 35mdetleib 20212 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))))))
114113ad2antrl 760 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))))))
11526adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
1161, 4ringass 18387 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))
11727, 115, 34, 59, 116syl13anc 1320 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))
11822adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
119118, 29oveq12d 6567 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))))
1208, 23, 13zrhcofipsgn 19758 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑃𝑝) ∈ 𝐺) → ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃𝑝))))
12130, 107, 120syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃𝑝))))
12217adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑃𝐺)
12343, 13, 8psgnco 19748 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑆‘(𝑃𝑝)) = ((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝)))
12430, 122, 31, 123syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆‘(𝑃𝑝)) = ((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝)))
125124fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘(𝑃𝑝))) = (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝))))
12623zrhrhm 19679 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
1277, 126syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
128127adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
129 1z 11284 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
130 neg1z 11290 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℤ
131 prssi 4293 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
132129, 130, 131mp2an 704 . . . . . . . . . . 11 {1, -1} ⊆ ℤ
1338, 13psgnran 17758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ {1, -1})
13430, 122, 133syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ {1, -1})
135132, 134sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ ℤ)
1368, 13psgnran 17758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑝) ∈ {1, -1})
13730, 31, 136syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑝) ∈ {1, -1})
138132, 137sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑝) ∈ ℤ)
139 zringbas 19643 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
140 zringmulr 19646 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℤring)
141139, 140, 4rhmmul 18550 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ (𝑆𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑝) ∈ ℤ) → (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))))
142128, 135, 138, 141syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))))
143121, 125, 1423eqtrrd 2649 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))) = ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)))
144119, 143eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)))
14546a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗)))
146 simprl 790 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑖 = (𝑝𝑥))
147146fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑝𝑥)))
148 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑝𝐺)
14943, 8symgbasf 17627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝐺𝑝:𝑁𝑁)
150 ffun 5961 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝:𝑁𝑁 → Fun 𝑝)
151148, 149, 1503syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → Fun 𝑝)
152 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥𝑁)
153 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝:𝑁𝑁 → dom 𝑝 = 𝑁)
154148, 149, 1533syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → dom 𝑝 = 𝑁)
155152, 154eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥 ∈ dom 𝑝)
156 fvco 6184 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝑝𝑥 ∈ dom 𝑝) → ((𝑃𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝𝑥)))
157151, 155, 156syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝𝑥)))
158147, 157eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃𝑝)‘𝑥))
159 simprr 792 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑗 = 𝑥)
160158, 159oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃𝑖)𝑀𝑗) = (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
161 ovex 6577 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ V
162161a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ V)
163145, 160, 45, 42, 162ovmpt2d 6686 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → ((𝑝𝑥)𝐸𝑥) = (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
164163mpteq2dva 4672 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
165164oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
166144, 165oveq12d 6567 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
167117, 166eqtr3d 2646 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))) = (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
168167mpteq2dva 4672 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))) = (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))))
169168oveq2d 6565 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
170111, 114, 1693eqtr4d 2654 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))))
171112, 39, 40, 8, 23, 13, 4, 35mdetleib 20212 . . . 4 (𝐸𝐵 → (𝐷𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))))
17255, 171syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))))
173172oveq2d 6565 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))))
17470, 170, 1733eqtr4d 2654 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃!wreu 2898  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ∘ ccom 5042  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Fincfn 7841  1c1 9816   · cmul 9820  -cneg 10146  ℤcz 11254  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  SymGrpcsymg 17620  pmSgncpsgn 17732  CMndccmn 18016  mulGrpcmgp 18312  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371   RingHom crh 18535  ℤringzring 19637  ℤRHomczrh 19667   Mat cmat 20032   maDet cmdat 20209 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-reverse 13160  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-symg 17621  df-pmtr 17685  df-psgn 17734  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mat 20033  df-mdet 20210 This theorem is referenced by:  mdetpmtr2  29218  mdetpmtr12  29219
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